2016年藍橋杯B組C/C++
第一題：煤球數目 題解
有一堆煤球，堆成三角棱錐形。具體：
第一層放1個，
第二層3個（排列成三角形），
第三層6個（排列成三角形），
第四層10個（排列成三角形），
....
如果一共有100層，共有多少個煤球？
請填表示煤球總數目的數字。
注意：你提交的應該是一個整數，不要填寫任何多余的內容或說明性文字。
題解：171700 數列求和
int acc=0,num=0;
for(int i=1;i<=100;i++){
acc += i;
num += acc;
}
cout<<num<<endl;
第二題：生日蠟燭
某君從某年開始每年都舉辦一次生日party，並且每次都要吹熄與年齡相同根數的蠟燭。
現在算起來，他一共吹熄了236根蠟燭。
請問，他從多少歲開始過生日party的？
請填寫他開始過生日party的年齡數。
注意：你提交的應該是一個整數，不要填寫任何多余的內容或說明性文字。
題解：26 枚舉，等差數列求和
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int n;
int sum = 1;
//枚舉 開始過生日得年齡j 過了幾次i
for(int i=1;i<=111;i++){
for(int j=1;j<=111;j++){
//等差數列求和 a1 = i*j（開始過生日那年歲數,也就是吹蠟燭得數量,公差d=1，和等於236）
if(i*j+1.5*(i*i) - 1.5*i == 236){
cout<<"i="<<i<<" "<<" j="<<j<<endl;
}
}
}
int d = 26;
for(int i=1;i<=11;i++){
sum+=d;
cout<<sum<<endl;
d++;
}
}
//26歲過的生日
第三題：湊算式
B DEF
A + --- + ------- = 10
C GHI
（如果顯示有問題，可以參見【圖1.jpg】）
這個算式中AI代表19的數字，不同的字母代表不同的數字。
比如：
6+8/3+952/714 就是一種解法，
5+3/1+972/486 是另一種解法。
這個算式一共有多少種解法？
注意：你提交應該是個整數，不要填寫任何多余的內容或說明性文字。
題解一：29 暴力枚舉
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int sum = 0;
//解法一：暴力枚舉 枚舉每一個位置的值
for(int a = 1;a<=9;a++){
for(int b = 1;b<=9;b++){
if(b==a) continue;
for(int c = 1;c<=9;c++){
if(c==b || c==a) continue;
for(int d = 1;d<=9;d++){
if(d==c || d==b || d==a) continue;
for(int e = 1;e<=9;e++){
if(e==d || e==c || e==b || e==a) continue;
for(int f = 1;f<=9;f++){
if(f==d || f==c || f==b || f==a ||f==e) continue;
for(int g = 1;g<=9;g++){
if(g==d || g==c || g==b || g==a ||g==e||g==f) continue;
for(int h = 1;h<=9;h++){
if(h==d || h==c || h==b || h==a ||h==e||h==f || h==g) continue;
for(int i = 1;i<=9;i++){
if(i==d || i==c || i==b || i==a ||i==e||i==f || i==g || i==h) continue;
int ghi = g*100+h*10+i;
int def = d*100+e*10+f;
//解決除法精度問題 需要將除數乘以0.1
if( a+b*1.0/c+def*1.0/ghi==10 ){
sum++;
cout<<"a= "<<a<<" "<<"b= "<<b<<" "<<"c= "<<c<<" def="<<def<<" ghi="<<ghi<<endl;
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
cout<<sum<<endl;
}
//29種
題解二：29 dfs深搜：dfs全排列類型題
#include<iostream>
using namespace std;
//dfs:9個數做全排列 不使用相同數字
int a[9]={0};
int ans=0;
bool judge(int *a)//判斷是否算式和為10
{
double x=a[0]+a[1]*1.0/a[2]+(a[3]*100+a[4]*10+a[5])*1.0/(a[6]*100+a[7]*10+a[8]);
if(x==10.0) return true;
return false;
}
bool check(int index)//檢測a[index]是否有重復
{
//檢查前index-1個數是否與當前數重復
for(int i=index-1;i>=0;i--)
{
if(a[i]==a[index]) return false;
}
return true;
}
//就是最基本的9個數全排列，在dfs結束條件里用judge()做判斷
void dfs(int index)
{
//結束條件中調用judge()判斷是否滿足條件
if(index>8)
{
if(judge(a))
ans++;
return;
}
//枚舉1~9這10個數
for(int i=1;i<=9;i++)
{
a[index]=i;//當前位置的值置為i
//check()函數判斷當前位置是否用了 前面用過的重復的數字
if(check(index))
{
dfs(index+1);//沒有重復，則枚舉下一個位置的數
}
}
}
int main()
{
dfs(0);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
第四題：快速排序
排序在各種場合經常被用到。
快速排序是十分常用的高效率的算法。
其思想是：先選一個“標尺”，
用它把整個隊列過一遍篩子，
以保證：其左邊的元素都不大於它，其右邊的元素都不小於它。
這樣，排序問題就被分割為兩個子區間。
再分別對子區間排序就可以了。
下面的代碼是一種實現，請分析並填寫划線部分缺少的代碼。
題解：swap(a,j,p);
選定第一個表示a[p]p=0，即第一個元素，i從數組前面向后移，j從數組后面向前移動。i停在比a[p]大的位置，j停在比a[p]小的位置，交換他倆的位置，到i>=j的時候停止移動，這時候，p位置到j位置是小於a[p]的元素，j+1位置到r位置都是大於a[p]的元素，該段代碼的目的是標尺的左邊都是小於它的數，右邊都是大於它的數，所以要將p位置的元素和j位置的元素進行交換。
考察調試程序BUG的能力，步驟如下：
①理解題干，從題干中找出發點，寫出正確的程序結果
②對照程序輸出結果進行邏輯推測
③觀察程序代碼找出漏洞
#include <stdio.h>
void swap(int a[], int i, int j)
{
int t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
//快速排序 嚴版數據結構中的做法 以第一個元素為樞軸 兩邊排
int partition(int a[], int p, int r)
{
int i = p;
int j = r + 1;
int x = a[p];//以第一個元素為樞軸
while(1){
while(i<r && a[++i]<x);
while(a[--j]>x);
if(i>=j) break;
swap(a,i,j);
}
swap(a,j,p);//樞軸元素存放到最終位置j上
return j;
}
void quicksort(int a[], int p, int r)
{
if(p<r){
int q = partition(a,p,r);
quicksort(a,p,q-1);
quicksort(a,q+1,r);
}
}
int main()
{
int i;
int a[] = {5,13,6,24,2,8,19,27,6,12,1,17};
int N = 12;
quicksort(a, 1, N-1);
for(i=1; i<N; i++) printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
return 1;
}
第五題：抽簽
X星球要派出一個5人組成的觀察團前往W星。
其中：
A國最多可以派出4人。
B國最多可以派出2人。
C國最多可以派出2人。
....
那么最終派往W星的觀察團會有多少種國別的不同組合呢？
下面的程序解決了這個問題。
數組a[] 中既是每個國家可以派出的最多的名額。
程序執行結果為：
DEFFF
CEFFF
CDFFF
CDEFF
CCFFF
CCEFF
CCDFF
CCDEF
BEFFF
BDFFF
BDEFF
BCFFF
BCEFF
BCDFF
BCDEF
....
(以下省略，總共101行)
題解：f(a,k+1,m-j,b);
1.讀題后看程序，不難看出填空位置是要填寫遞歸語句，
2.而第一個參數和最后一個參數不需要改變，
根據遞歸退出條件和給出的常量可以推斷出m表示還需要組多少人。k表示隊伍編，因此每次操作一個隊伍，
所以每次遞歸的時候k要加一，而m需要減少當前已經選的人數。
#include <stdio.h>
#include<iostream>
#define N 6
#define M 5
#define BUF 1124
using namespace std;
void f(int a[], int k, int m, char b[])
{
int i,j;
//到達最后一個國家時 要是名額已滿 打印b
if(k==N){
b[M] = 0;
if(m==0) printf("%s\n",b);
return;
}
//a[k]表示當前第k國所人數總數
for(i=0; i<=a[k]; i++){
//第k國所有人都作為參加人員
for(j=0; j<i; j++){
// int d = M-m+j; //調試理解M-m+j
// if(k==0)cout<<d<<endl;
//理解M-m+j
b[M-m+j] = k+'A'; //
}
// cout<<b<<endl;//調試打印字符數組b
f(a,k+1,m-i,b);//m-j還剩幾個人。剩下幾人呢？ 當前選了第i個人 i++,所以還剩下m-i個人,比如i=0 i++ 還剩下 5-1個
}
}
int main()
{
int a[N] = {4,2,2,1,1,3};//各國人數
char b[BUF];//存放結果
f(a,0,M,b);//調用函數
return 0;
}
第六題：方格填數
如下的10個格子
+--+--+--+
| | | |
+--+--+--+--+
| | | | |
+--+--+--+--+
| | | |
+--+--+--+
（如果顯示有問題，也可以參看【圖1.jpg】）
填入0~9的數字。要求：連續的兩個數字不能相鄰。
（左右、上下、對角都算相鄰）
一共有多少種可能的填數方案？
請填寫表示方案數目的整數。
注意：你提交的應該是一個整數，不要填寫任何多余的內容或說明性文字。
題解：1580 dfs回溯
從坐標(0,1)開始dfs枚舉填數，且不能使用相同數字（v數組作標記是否使用），相鄰格子數字也不能相鄰（使用isvalid()函數做判斷），當前狀態搜索完后，回溯恢復原狀態（使用過的數置為未使用）
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int mymap[3][4] = {{-222,-4,-6,-8},{-10,-12,-14,-16},{-18,-20,-22,-2222}};
int ans = 0;
int v[10]; //判斷數是否用過
//檢測 上 下 左 右 左上 右上 左下 右下 共8個方向的值與當前坐標上的值是否相鄰
bool isvalid(int x,int y,int k){
bool flag = true;
if(x-1>=0 && abs(mymap[x-1][y] - k) == 1){
flag = false;
}
if(x+1<=2 && abs(mymap[x+1][y] - k) == 1){
flag = false;
}
if(y-1>=0 && abs(mymap[x][y-1] - k) == 1){
flag = false;
}
if(y+1<=3 && abs(mymap[x][y+1] - k) == 1){
flag = false;
}
if(x-1>=0 && y-1>=0 && abs(mymap[x-1][y-1] - k) == 1){
flag = false;
}
if(x-1>=0 && y+1<=3 && abs(mymap[x-1][y+1] - k) == 1){
flag = false;
}
if(x+1<=2 && y+1<=3 && abs(mymap[x+1][y+1] - k) == 1){
flag = false;
}
if(x+1<=2 && y-1>=0 && abs(mymap[x+1][y-1] - k) == 1){
flag = false;
}
return flag;
}
void dfs(int x,int y){
if(x==2 && y==3){
ans++;
return;
}
//下一步dfs的坐標
int nextx = x;
int nexty = y+1;
for(int k=0;k<=9;k++){
if( !v[k] && isvalid(x,y,k) ){
mymap[x][y] = k;
v[k] = 1;//當前數已經用過
//坐標換行
if(y==3 && x<2){
nextx = x+1;
nexty = 0;
}
dfs(nextx,nexty);
v[k] = 0;//什么時候要回溯？——后面不同坐標dfs的條件中要用到當前v數組的值 和 mymap的值
mymap[x][y] = -2;
}
}
}
void init(){
for(int i=0;i<=2;i++){
for(int j=0;j<=3;j++){
mymap[i][j] = -2;
}
}
for(int i=0;i<=9;i++){
v[i] = 0;
}
}
int main(){
dfs(0,1);
cout<<ans<<endl;
}
//1580
第七題：剪郵票
如【圖1.jpg】,
有12張連在一起的12生肖的郵票。
現在你要從中剪下5張來，要求必須是連着的。
（僅僅連接一個角不算相連）
比如，【圖2.jpg】，【圖3.jpg】中，粉紅色所示部分就是合格的剪取。
請你計算，一共有多少種不同的剪取方法。
請填寫表示方案數目的整數。
注意：你提交的應該是一個整數，不要填寫任何多余的內容或說明性文字。
題解：116 暴力枚舉選出5個數 + dfs判斷連通性
#include<iostream>
using namespace std;
//暴力枚舉選出5個數 dfs判斷是否連通
int arr[3][4] = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12}};//題目中的郵票矩陣
bool visited[13] = {false};//判斷數是否訪問過
bool selected[13] = {false};//判斷數是否選中
int ans = 0;//統計總數
int dr[4][2] = {{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};//方向數組
//檢查dfs后當前選的5個值是否滿足條件
bool check(int a,int b,int c,int d,int e){
if(visited[a] == false){
return false;
}
if(visited[b] == false){
return false;
}
if(visited[c] == false){
return false;
}
if(visited[d] == false){
return false;
}
if(visited[e] == false){
return false;
}
return true;
}
//判斷當前所選的5個數的連通性
void dfs(int a){
//找到數值為a時 在郵票矩陣中對應的坐標
int x,y;
for(int i=0;i<3;i++){
for(int j=0;j<4;j++){
if(arr[i][j] == a){
x = i;
y = j;
break;
}
}
}
//開始枚舉四個方向搜索 判斷連通性
int nextx,nexty;
for(int i=0;i<4;i++){
nextx = x + dr[i][0];
nexty = y + dr[i][1];
//越界判斷 這種情況要跳過
if( nextx >2 || nexty>3 || nextx<0 || nexty<0 ){
continue;
}
int d = arr[nextx][nexty];//下一個遍歷的點
if( !visited[d] && selected[d]){
visited[d] = true;//下一個遍歷的點設置成訪問過
dfs(d);//遍歷下一個點
}
}
}
int main(){
//畢竟只是填空題 數據量也小 暴力一下
//這里遞增枚舉 避免重復
for(int a = 1;a<=8;a++){
for(int b = a+1;b<=9;b++){
for(int c = b+1;c<=10;c++){
for(int d=c+1;d<=11;d++){
for(int e=d+1;e<=12;e++){
//清空visited數組
for(int i=1;i<=12;i++){
visited[i] = false;
}
//selected數組置為已經選擇
selected[a] = true;
selected[b] = true;
selected[c] = true;
selected[d] = true;
selected[e] = true;
visited[a] = true;//dfs搜索的起點設置成訪問過
dfs(a);//開始搜索起點
//dfs搜完后清空selected數組
selected[a] = false;
selected[b] = false;
selected[c] = false;
selected[d] = false;
selected[e] = false;
//檢查是否滿足連通：遍歷visited數組 連通的條件是visited數組的5個數在dfs搜索的時候全部訪問過
bool flag = false;
flag = check(a,b,c,d,e);
if(flag){
ans++;
cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<" "<<d<<" "<<e<<endl;
}
}
}
}
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
第八題：四平方和
四平方和定理，又稱為拉格朗日定理：
每個正整數都可以表示為至多4個正整數的平方和。
如果把0包括進去，就正好可以表示為4個數的平方和。
比如：
5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
（^符號表示乘方的意思）
對於一個給定的正整數，可能存在多種平方和的表示法。
要求你對4個數排序：
0 <= a <= b <= c <= d
並對所有的可能表示法按 a,b,c,d 為聯合主鍵升序排列，最后輸出第一個表示法
程序輸入為一個正整數N (N<5000000)
要求輸出4個非負整數，按從小到大排序，中間用空格分開
例如，輸入：
5
則程序應該輸出：
0 0 1 2
再例如，輸入：
12
則程序應該輸出：
0 2 2 2
再例如，輸入：
773535
則程序應該輸出：
1 1 267 838
資源約定：
峰值內存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
請嚴格按要求輸出，不要畫蛇添足地打印類似：“請您輸入...” 的多余內容。
所有代碼放在同一個源文件中，調試通過后，拷貝提交該源碼。
注意: main函數需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 標准，不要調用依賴於編譯環境或操作系統的特殊函數。
注意: 所有依賴的函數必須明確地在源文件中 #include
提交時，注意選擇所期望的編譯器類型。
題解：法一暴力枚舉，法二枚舉+查表
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
int t;
cin>>t;
//暴力枚舉 4層循環
for(int a=0;a*a<t;a++){
for(int b=a;b*b<t;b++){
for(int c=b;c*c<t;c++){
for(int d=c;d*d<t;d++){
if(a*a + b*b + c*c + d*d == t){
printf("%d %d %d %d\n",a,b,c,d);
return 0;
}
}
}
}
}
return 0;
}
//枚舉，后面再優化
方法二：unordered_map查表
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
unordered_map<int,int> mymap;
int main(){
// 枚舉a*a + b*b 查表查找是否有c*c + d*d 滿足 n-a*a-b*b == c*c + d*d
long long n;
cin>>n;
long long a,b,c,d,e;
//生成表
for(c = 0;c*c<=n;c++){
for(d=c;c*c+d*d<=n;d++){
if(mymap.find(c*c+d*d) == mymap.end()){
mymap[c*c+d*d] = c;//存放c的值 c*c-d*d:c
}
}
}
//枚舉a和b
for(a = 0;a*a*4<=n;a++){
for(b=a;b*b*2<=n;b++){
//查找表 查看mymap表中是否有 n-a*a-b*b這個值
if(mymap.find(n-a*a-b*b) != mymap.end()){
c = mymap[n-a*a-b*b];
d = int(sqrt(n-a*a-b*b-c*c));
cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<" "<<d<<endl;
return 0;
}
}
}
return 0;
}
第九題：交換瓶子
有N個瓶子，編號 1 ~ N，放在架子上。
比如有5個瓶子：
2 1 3 5 4
要求每次拿起2個瓶子，交換它們的位置。
經過若干次后，使得瓶子的序號為：
1 2 3 4 5
對於這么簡單的情況，顯然，至少需要交換2次就可以復位。
如果瓶子更多呢？你可以通過編程來解決。
輸入格式為兩行：
第一行: 一個正整數N（N<10000）, 表示瓶子的數目
第二行：N個正整數，用空格分開，表示瓶子目前的排列情況。
輸出數據為一行一個正整數，表示至少交換多少次，才能完成排序。
例如，輸入：
5
3 1 2 5 4
程序應該輸出：
3
再例如，輸入：
5
5 4 3 2 1
程序應該輸出：
2
資源約定：
峰值內存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
請嚴格按要求輸出，不要畫蛇添足地打印類似：“請您輸入...” 的多余內容。
所有代碼放在同一個源文件中，調試通過后，拷貝提交該源碼。
注意: main函數需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 標准，不要調用依賴於編譯環境或操作系統的特殊函數。
注意: 所有依賴的函數必須明確地在源文件中 #include
提交時，注意選擇所期望的編譯器類型。
題解：模擬法，有點像冒泡排序
n-1層循環 比較當前第i個 與 [i+1,n]即i后面的數，找到一個比當前i值小的最小的元素，記錄下標交換位置
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[10010];
int ans = 0;
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
//n-1層循環 找到比當前元素小的最小的一個數的下標 交換位置
for(int i=1;i<n;i++){
int d = a[i];
int min = 0x3f3f3f3f;
int minindex = -1;
//從i+1開始找 找到比當前元素小的最小的一個數的下標
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(a[j] < a[i] && a[j]<min){
min = a[j];
minindex = j;
}
}
//交換位置
if(a[i] != a[minindex] && minindex!=-1){
ans++;
swap(a[i],a[minindex]);
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
第十題：最大比例
X星球的某個大獎賽設了M級獎勵。每個級別的獎金是一個正整數。
並且，相鄰的兩個級別間的比例是個固定值。
也就是說：所有級別的獎金數構成了一個等比數列。比如：
16,24,36,54
其等比值為：3/2
現在，我們隨機調查了一些獲獎者的獎金數。
請你據此推算可能的最大的等比值。
輸入格式：
第一行為數字N，表示接下的一行包含N個正整數
第二行N個正整數Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分開。每個整數表示調查到的某人的獎金數額
要求輸出：
一個形如A/B的分數，要求A、B互質。表示可能的最大比例系數
測試數據保證了輸入格式正確，並且最大比例是存在的。
例如，輸入：
3
1250 200 32
程序應該輸出：
25/4
再例如，輸入：
4
3125 32 32 200
程序應該輸出：
5/2
再例如，輸入：
3
549755813888 524288 2
程序應該輸出：
4/1
資源約定：
峰值內存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
請嚴格按要求輸出，不要畫蛇添足地打印類似：“請您輸入...” 的多余內容。
所有代碼放在同一個源文件中，調試通過后，拷貝提交該源碼。
注意: main函數需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 標准，不要調用依賴於編譯環境或操作系統的特殊函數。
注意: 所有依賴的函數必須明確地在源文件中 #include
提交時，注意選擇所期望的編譯器類型。
題解：通過本題學會使用gcd求最大公約數，化簡分數，分數比較大小。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//復雜度o(n^2) 能過100%的數據
//思路： 分析序列的比例關系——借用gcd最大公約數化簡分數，比較分數時分母通分后比較分子，
//借用多個數組存放數據
bool cmp(long long a,long long b){
return a>b;
}
long long arr[10010];
long long p1[10010],p2[10010];
long long n;
long long gcd(long long a,long long b){
if(b==0){
return a;
}
return gcd(b,a%b);
}
int main(){
cin>>n;
for(long long i=0;i<n;i++){
cin>>arr[i];
}
sort(arr,arr+n,cmp);
//54 36 16
//3/2 9/4
//存放比例( 數/最大公約數 ）
for(long long i=0;i<n-1;i++){
long long d = gcd(arr[i],arr[i+1]);
p1[i] = arr[i]/d;
p2[i] = arr[i+1]/d;
//p[i]/p[i+1]就是相鄰元素間的比例 共n-1個下標n-2
}
long long num1,num2,temp = 0x3f3f3f3f,final1,final2;
//遍歷兩個數組
for(long long i=0;i<n-2;i++){
for(long long j=i+1;j<n-1;j++){
//通分 比如3/2 9/4 通分成 12/8和18/8
if(p1[i] * p2[j] == p1[j] * p2[i]){
//兩個相等時 p1 == p2
num1 = p1[i];
num2 = p2[i];
}
if(p1[i]*p2[j]>p1[j]*p2[i]){
num1=p1[i]/p1[j];
num2=p2[i]/p2[j];
}
else if(p1[i]*p2[j]<p1[j]*p2[i]){
num1=p1[j]/p1[i];
num2=p2[j]/p2[i];
}
if(num1*1.0/num2 < temp){
temp = num1*1.0/num2;
final1 = num1;
final2 = num2;
}
}
}
cout<<final1<<"/"<<final2<<endl;
return 0;
}