【40講系列9】回溯算法、剪枝

一、理論

　　1）首先，使用回溯算法關鍵是，將問題轉化為 【樹形問題】。

　　2）回溯的關鍵點： for循環、 遞歸。

　　　for循環的作用在於另尋它路，可以逐個選擇當前節點下的所有可能往下走下去的分支路徑。

　　　遞歸可以實現一條路走到黑和回退一步，把遞歸放在for循環內部，那么for每一次的循環，都在給出一個路徑后進入遞歸，繼續往下走。

　　3）因此，for循環和遞歸配合可以實現回溯，所以DFS是最典型的回溯法的應用。

 

　　理論詳解及分類經典習題：回溯算法入門級詳解 + 練習（持續更新）

二、典型例題

☆☆☆☆①：如何使N個皇后彼此之間不能相互攻擊（LC51、LC52）

思路：如果在（i，j）處放置了一個皇后，那么

1. 整個第 i 行的位置都不能放置；

2. 整個第 j 列的位置都不能放置。

3. 如果位置(a,b)滿足|a-i|==|b-j|，說明(a,b)和(i,j)處在同一條斜線上，也不能放置。

class Solution {
    // LeetCode 52
    // 參考左神，還可以進一步使用位運算加速
    int res = 0;
    public int totalNQueens(int n) {
        if (n < 1) return 0;
        int[] record = new int[n]; // record[index]表示第index行皇后所在的列數
        help(record,0,n);
        return res;
    }
    private void help(int[] record,int index, int n){
        if (index == n){ // 此時已經確定一種情況
            res++;
            return;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (isVaild(record,index,j)){
                record[index] = j;
                help(record,index+1,n);
            }
        }
    }
    private boolean isVaild(int[] record,int index, int j){
        for (int k = 0; k < index; k++) {
            if (record[k] == j || Math.abs(k - index) == Math.abs(record[k] - j)){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

Note：本題的最優解是使用位運算加速，見【40講系列11】位運算

 

②：判斷數獨是否有效（LC36）

M

☆☆☆☆③：解數獨（LeetCode37. 解數獨）

 

三、擴展例題

第一組（樹形問題）：LeetCode17. 電話號碼的字母組合、LeetCode93. 復原IP地址、LeetCode131. 分割回文串

第二組（排列問題）：LeetCode46. 全排列、LeetCode47. 全排列 II

第三組（組合問題）：LeetCode77. 組合、LeetCode39. 組合總和、LeetCode40. 組合總和 II、LeetCode216. 組合總和 III、LeetCode78. 子集、LeetCode90. 子集 II、LeetCode401. 二進制手表

第四組（二維平面上的回溯）：LeetCode79. 單詞搜索

第五組（Flood Fill）：LeetCode200. 島嶼數量、LeetCode130. 被圍繞的區域、LeetCode417. 太平洋大西洋水流問題

第六組（游戲問題）：LeetCode51. N 皇后、LeetCode52. N皇后 II、LeetCode37. 解數獨

四、綜合練習

題型一：排列、組合、子集相關問題

　　Note：理解為什么有時候用visited數組，有時候設置搜索起點start

• LeetCode46. 全排列
• LeetCode47. 全排列2：思考為什么造成了重復，如何在搜索之前就判斷這一支會產生重復；
• LeetCode39. 組合總和
• LeetCode40. 組合總和2
• LeetCode77. 組合
• LeetCode78. 子集
• LeetCode90. 子集2 ： 剪枝技巧同 47 題、39 題、40 題；
• LeetCode60. 第k個排列 ： 利用了剪枝的思想，減去了大量枝葉，直接來到需要的葉子結點；
• LeetCode93. 復原IP地址

題型二：Flood Fill

　　Note：以下問題都不建議修改輸入數據，設置visited數組是標准做法。

• LeetCode733. 圖像渲染
• LeetCode200. 島嶼數量
• LeetCode130. 被圍繞的區域
• LeetCode79. 單詞搜素

題型三：字符串中的回溯問題

　　Note: 字符串問題的特殊之處在於，字符串的拼接會生成新對象，因此沒有顯示【回溯】的過程。但如果用StringBuilder拼接字符串則需要回溯。

• LeetCode17. 電話號碼的字母組合
• LeetCode784. 字母大小寫全排列
• LeetCode22. 括號生成：本題也可用BFS，可以通過本題理解為什么回溯算法都是DFS，並且都用遞歸來寫。

題型四：游戲問題

• LeetCode51. N皇后：其實就是全排列問題，注意設計清楚狀態變量，在遍歷的時候需要記住一些信息，空間換時間；
• LeetCode37. 解數獨：思路同N皇后問題
• LeetCode488. 祖瑪游戲
• LeetCode529. 掃雷游戲