分支限界法之單源最短路徑問題

1、問題描述 

在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權。要求圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。

 

下圖是用優先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產生的解空間樹。其中，每一個結點旁邊的數字表示該結點所對應的當前路長。

 

找到一條路徑：

 

目前的最短路徑是8，一旦發現某個結點的下界不小於這個最短路進，則剪枝：

同一個結點選擇最短的到達路徑：

 

 

2.剪枝策略

在算法擴展結點的過程中，一旦發現一個結點的下界不小於當前找到的最短路長，則算法剪去以該結點為根的子樹。

   在算法中，利用結點間的控制關系進行剪枝。從源頂點s出發，2條不同路徑到達圖G的同一頂點。由於兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應的樹中的結點為根的子樹剪去。

3.算法思想

解單源最短路徑問題的優先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結點表。其優先級是結點所對應的當前路長。

算法從圖G的源頂點s和空優先隊列開始。結點s被擴展后，它的兒子結點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當前路長的結點作為當前擴展結點，並依次檢查與當前擴展結點相鄰的所有頂點。如果從當前擴展結點i到頂點j有邊可達，且從源出發，途經頂點i再到頂點j的所相應的路徑的長度小於當前最優路徑長度，則將該頂點作為活結點插入到活結點優先隊列中。這個結點的擴展過程一直繼續到活結點優先隊列為空時為止。

代碼實現

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <limits>
using namespace std;

struct node_info
{
public:
    node_info (int i,int w)
        : index (i), weight (w) {}
    node_info ()
        : index(0),weight(0) {}
    node_info (const node_info & ni)
        : index (ni.index), weight (ni.weight) {}

    friend
    bool operator < (const node_info& lth,const node_info& rth) {
        return lth.weight > rth.weight ; // 為了實現從小到大的順序
    }

public:
    int index; // 結點位置
    int weight; // 權值
};

struct path_info
{
public:
    path_info ()
        : front_index(0), weight (numeric_limits<int>::max()) {}

public:
    int front_index;
    int weight;
};

// single source shortest paths
class ss_shortest_paths
{

public:
    ss_shortest_paths (const vector<vector<int> >& g,int end_location)
        :no_edge (-1), end_node (end_location), node_count (g.size()) , graph (g)
    {}

    // 打印最短路徑
    void print_spaths () const {
        cout << "min weight : " << shortest_path << endl;
        cout << "path: " ;
        copy (s_path_index.rbegin(),s_path_index.rend(),
            ostream_iterator<int> (cout, " "));
        cout << endl;
    }

    // 求最短路徑
    void shortest_paths () {
        vector<path_info> path(node_count);
        priority_queue<node_info,vector<node_info> > min_heap;
        min_heap.push (node_info(0,0));    // 將起始結點入隊

        while (true) {
            node_info top = min_heap.top ();    // 取出最大值
            min_heap.pop ();

            // 已到達目的結點
            if (top.index == end_node) {
                break ;
            }
            // 未到達則遍歷
            for (int i = 0; i < node_count; ++ i) {
                // 頂點top.index和i間有邊，且此路徑長小於原先從原點到i的路徑長
                if (graph[top.index][i] != no_edge &&
                    (top.weight + graph[top.index][i]) < path[i].weight) {
                    min_heap.push (node_info (i,top.weight + graph[top.index][i]));
                    path[i].front_index = top.index;
                    path[i].weight = top.weight + graph[top.index][i];
                }
            }
            if (min_heap.empty()) {
                break ;
            }
        }

        shortest_path = path[end_node].weight;
        int index = end_node;
        s_path_index.push_back(index) ;
        while (true) {
            index = path[index].front_index ;
            s_path_index.push_back(index);
            if (index == 0) {
                break;
            }
        }
    }

private:
    vector<vector<int> >    graph ;            // 圖的數組表示
    int                        node_count;        // 結點個數
    const int                no_edge;        // 無通路
    const int                end_node;        // 目的結點
    vector<int>                s_path_index;    // 最短路徑
    int                        shortest_path;    // 最短路徑
};

int main()
{
    const int size = 11;
    vector<vector<int> > graph (size);
    for (int i = 0;i < size; ++ i) {
        graph[i].resize (size);
    }
    for (int i = 0;i < size; ++ i) {
        for (int j = 0;j < size; ++ j) {
            graph[i][j] = -1;
        }
    }
    graph[0][1] = 2;
    graph[0][2] = 3;
    graph[0][3] = 4;
    graph[1][2] = 3;
    graph[1][5] = 2;
    graph[1][4] = 7;
    graph[2][5] = 9;
    graph[2][6] = 2;
    graph[3][6] = 2;
    graph[4][7] = 3;
    graph[4][8] = 3;
    graph[5][6] = 1;
    graph[5][8] = 3;
    graph[6][9] = 1;
    graph[6][8] = 5;
    graph[7][10] = 3;
    graph[8][10] = 2;
    graph[9][8] = 2;
    graph[9][10] = 2;

    ss_shortest_paths ssp (graph, 10);
    ssp.shortest_paths ();
    ssp.print_spaths ();
    return 0;
}

測試數據（圖）

測試結果
min weight : 8
path: 0 2 6 9 10
轉載：https://www.cnblogs.com/chinazhangjie/archive/2010/11/01/1866136.html