概率論疑難問題---2、通俗理解泊松分布

一、總結

一句話總結：

 

 

 

二、通俗理解泊松分布

博客對應課程視頻位置：2、通俗理解泊松分布-范仁義-讀書編程筆記
https://www.fanrenyi.com/video/45/385

 

1、賣包子

給大家講講我爸爸職業的故事。

做木匠->開車->賣包子->賣包子->賣鴨脖子->去賣炒飯->開小牌館

 

 

每天早上六點到十點營業，生意挺好，就是發愁一個事情，應該准備多少個包子才能既不浪費又能充分供應？

老板統計了周一到周五每日賣出的包子（為了方便計算和講解，縮小了數據）：

 

 

均值為：

$$\overline { X } = \frac { 3 + 7 + 4 + 6 + 5 } { 5 } = 5$$

按道理講均值是不錯的選擇，這樣每天包子個數的偏離不會太大，但是如果每天准備5個包子的話，從統計表來看，至少有兩天不夠賣，40\%的時間不夠賣：

 

 

你家的“包子店”又不是小米，搞什么飢餓營銷啊？老板當然也知道這一點，就拿起紙筆來開始思考。

2、老板的思考

老板嘗試把營業時間抽象為一根線段，把這段時間用T來表示：

 

 

然后把周一的三個包子按照銷售時間放在線段上：

 

 

把T均分為四個時間段：

 

 

此時，在每一個時間段上，要不賣出了（一個）包子，要不沒有賣出：

 

 

在每個時間段，就有點像拋硬幣，要不是正面（賣出），要不是反面（沒有賣出）：

T內那么賣出3個包子的概率，就和拋了4次硬幣（4個時間段），其中3次正面（賣出3個）的概率一樣了。

這樣的概率通過二項分布來計算就是：

$$\left( \begin{array} { l } { 4 } \\ { 3 } \end{array} \right) p ^ { 3 } ( 1 - p ) ^ { 1 }$$

---

二項分布用符號b(x．n．p)，表示在n次試驗中有x次成功，成功的概率為p。

二項分布的概率函數可寫作：

$$b ( x . n . p ) = C _ { n } ^ { x } p ^ { x } (1-p) ^ { n - x }$$

式中x＝0、1、2、3．．．．．n為正整數

$$C _ { n } ^ { x } = \frac { n ! } { x ! ( n - x ) ! }$$

---

但是，如果把周二的七個包子放在線段上，分成四段就不夠了：

 

 

從圖中看，每個時間段，有賣出3個的，有賣出2個的，有賣出1個的，就不再是單純的“賣出、沒賣出”了。不能套用二項分布了。

解決這個問題也很簡單，把T分為20個時間段，那么每個時間段就又變為了拋硬幣：

 

 

這樣，T內賣出7個包子的概率就是（相當於拋了20次硬幣，出現7次正面）：

$$\left( \begin{array} { c } { 20 } \\ { 7 } \end{array} \right) p ^ { 7 } ( 1 - p ) ^ { 13 }$$

為了保證在一個時間段內只會發生“賣出、沒賣出”，干脆把時間切成n份：

$$\left( \begin{array} { l } { n } \\ { 7 } \end{array} \right) p ^ { 7 } ( 1 - p ) ^ { n - 7 }$$

越細越好，用極限來表示：

$$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \begin{array} { c } { n } \\ { 7 } \end{array} \right) p ^ { 7 } ( 1 - p ) ^ { n - 7 }$$

更抽象一點，T時刻內賣出k個包子的概率為：

$$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k }$$

3、p的計算

“那么”，老板用筆敲了敲桌子，“只剩下一個問題，概率p怎么求？”

在上面的假設下，問題已經被轉為了二項分布。二項分布的期望為：

$$E ( X ) = n p = \mu$$

那么：

$$p = \frac { \mu } { n }$$

4、泊松分布

有了p=μ/n了之后，就有：

$$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) (\frac { \mu } { n } )^ { k }( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { n - k }$$

我們來算一下這個極限：

$$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) (\frac { \mu } { n })^{k} ( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { n - k } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdots ( n - k + 1 ) } { k ! } \frac { \mu ^ { k } } { n ^ { k } } ( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { n - k } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \mu ^ { k } } { k ! } \frac { n } { n } \cdot \frac { n - 1 } { n } \cdots \frac { n - k + 1 } { n } ( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { - k } ( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { n }$$

其中：

$$\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { n } \cdot \frac { n - 1 } { n } \cdots \frac { n - k + 1 } { n } ( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { - k } = 1$$
$$\lim _ { n \rightarrow \infty } ( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { n } = e ^ { - \mu }$$

所以：

$$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \frac { \mu } { n } ( 1 - \frac { \mu } { n } ) ^ { n - k } = \frac { \mu ^ { k } } { k ! } e ^ { - \mu }$$

上面就是泊松分布的概率密度函數，也就是說，在T時間內賣出k個包子的概率為：

$$P ( X = k ) = \frac { \mu ^ { k } } { k ! } e ^ { - \mu }$$

一般來說，我們會換一個符號，讓μ=λ，所以：

$$P ( X = k ) = \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda }$$

這就是教科書中的泊松分布的概率密度函數。

5、包子店的問題的解決

老板依然蹙眉，不知道μ啊？

沒關系，剛才不是計算了樣本均值：

$$\overline { X } = 5$$

可以用它來近似：

$$\overline { X } \approx \mu$$

於是：

$$P ( X = k ) = \frac { 5 ^ { k } } { k ! } e ^ { - 5 }$$

畫出概率質量函數的曲線就是：

 

 

可以看到，如果每天准備8個包子的話，那么足夠賣的概率就是把前9個的概率加起來：

 

 

這樣93%的情況夠用，偶爾賣缺貨也有助於品牌形象。

老板算出一腦門的汗，“那就這么定了！”

6、總結

這個故事告訴我們，要努力學習啊，要不以后賣包子都賣不過別人。

生活中還有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我們只知道物質衰變一半的時間期望是多少，但是因為不確定性原理（這個理論是說，你不可能同時知道一個粒子的位置和它的速度），我們沒有辦法知道具體哪個原子會在什么時候衰變？所以可以用泊松分布來計算。

還有比如交通規划等等問題。

資料來源：https://www.matongxue.com/madocs/858/

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系列課程視頻位置：

1、全概率公式和貝葉斯公式-范仁義-讀書編程筆記
https://www.fanrenyi.com/video/45/382

2、通俗理解泊松分布-范仁義-讀書編程筆記
https://www.fanrenyi.com/video/45/385

3、通俗理解協方差與相關系數-范仁義-讀書編程筆記
https://www.fanrenyi.com/video/45/386

4、通俗理解概率論中的“矩”-范仁義-讀書編程筆記
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5、通俗理解中心極限定理-范仁義-讀書編程筆記
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7、通俗理解最小二乘法-范仁義-讀書編程筆記
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