在二維空間中，繞任意點旋轉可以分解為：
1）平移旋轉點到原點，2）繞原點旋轉，3）逆平移旋轉點；
可用矩陣表示為 
，
其中，
表示繞原點旋轉 
，
為平移矩陣。
在三維空間中繞任意軸旋轉一個對象，可以分解為分別繞不同軸旋轉一定角度。
1 繞三維坐標軸旋轉
設 x,y,z 為三個正交方向上的單位向量，將他們構成三維空間坐標需要滿足以下叉乘關系：
；
定義繞各個坐標軸旋轉方向如下圖：
當任意點繞 Z 軸旋轉時，該點在 Z 軸上坐標保持不變，在 X,Y 軸上坐標軸上退化為二維旋轉，如下圖所示：
由 
得 
，
由 
得 
，
最終得： 
，其中矩陣變換表示為：
；
同理， 繞 X 軸旋轉表示為：
，繞 Y 軸旋轉表示為：
。
當對任意點旋轉 
后再旋轉 
，該點回到原始位置，則旋轉矩陣 
是旋轉矩陣 
得逆矩陣，觀察以上旋轉矩陣可知 
。
2 繞過原點任意單位向量軸旋轉
當旋轉軸為過原點任意軸時，可使用如下方案旋轉：
1）旋轉對象使得旋轉軸與某一坐標軸重合；
2）繞該坐標軸旋轉；
3）使用逆旋轉使旋轉軸回到原始方向；
使用矩陣表示為： 
。
如上圖所示，u=(a,b,c) 為任意過原點旋轉軸，
。要旋轉 u 使其與 z 軸重合，首先需將 u 軸旋轉到 xz 平面。
將 u 投影到 yz 平面得 
，在 yz 平面上將 
旋轉 到 z 軸的旋轉角等於將 u 繞 x 軸旋轉到 xz 平面。
根據余弦定理得：
。
利用向量叉乘求正弦：
，
，
求解得：
。這里不使用 
求解是因為該公式無法確定計算結果符號。
使用矩陣形式表示 u 繞 x 軸旋轉 
：
，旋轉后向量為：
。
繞 y 軸旋轉到 z 軸上的旋轉角余弦為：
。
利用向量叉乘求正弦：
，
，
。
使用矩陣形式表示 繞 y 軸旋轉 
：
。
當將任意單位坐標做旋轉到與 z 軸重合后，使用以下矩陣完成真實旋轉：
。
然后使用逆旋轉矩陣還原原始坐標（逆旋轉矩陣為對應旋轉矩陣的轉置矩陣），實現繞任意過原點單位向量旋轉。
3 羅德里格斯公式
使用羅德里格斯公式，同樣可以實現繞過原點任意單位向量旋轉，詳細講解在 https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/12016761.html。
該方法最終推導出了旋轉矩陣為：
，
。
理論上來說，以上兩種方案推導出的旋轉矩陣應該是一致的（旋轉軸與旋轉角度一致情況下）。
4 引入平移
當旋轉軸不過原點時，可以引入平移矩陣實現繞任意軸旋轉。
假設旋轉軸過點 
，
，
，
首先構造單位長度旋轉軸向量為： 
，
構造平移矩陣為：
，
旋轉矩陣 被改寫為：
，
旋轉軸為以上單位旋轉向量，從而實現了繞任意軸旋轉。
在羅德里格斯公式中，采用同樣方式構造繞任意軸旋轉矩陣為：
。
5 四元數描述旋轉
1）四元數概念
四元數是復數到高維擴充，定義為 
，
。
將四元數表示成向量 
，
定義四元數加法為 
，
等價於 
。
定義四元數乘法為 
。
由於四元數平方和為 
，可定義四元數的逆為 
，使得 
成立。
2）描述旋轉軸為過原點任意單位向量的旋轉
為旋轉軸單位向量，定義 
，
則任意點 p = (x,y,z) 被描述為 
，旋轉后點為 
，
使用公式 
可計算出 p 點旋轉后坐標 
。
使用四元數計算規則可得 
，
由於 
，有 
，
。
引入向量 v 的叉積矩陣 
，上式可改寫為：
，實現 p 到 
旋轉變換。
3）與羅德里格斯公式關系
令旋轉軸為單位向量(x,y,z)，旋轉角度為 
，旋轉四元數定義為 
；
根據三角函數有 
，
，
羅德里格斯公式改寫為 
，
由於 
，可定義 
，
進一步改寫羅德里格斯公式 
，
最終整理結果為 
；
將 整理成矩陣形式，其結果與羅德里格斯整理矩陣一致，因此驗證了兩種方式是一致的。
參考資料 Computer Graphics with OpenGL Donald Hearn & M. Pauline Baker & Warren R. Carithers