#1.0 單項選擇題
#1.1 第1題
題面
1.十進制數 \(114\) 的相反數的 \(8\) 位二進制補碼是：
A.10001110\(\qquad\)B.10001101
C.01110010\(\qquad\)D.01110011
分析與解答
\(114\) 的相反數為 \(-114\)，
\(-114\) 的二進制原碼為 \(11110010\)
所以它的補碼為原碼按位取反加一
即為 \(10001110\)，選 A.
#1.2 第2題
題面
2.以下哪個網站不是 Online Judge （在線程序判題系統）？ Online Judge可以查看算法題目，提交自己編寫的程序，然后可以獲得評測機反饋的結果。
A.Luogu\(\qquad\)B.Gitee\(\qquad\)C.Leetcode\(\qquad\)D.Codeforces
分析與解答
不多BB，自己點進去看[\doge]
#1.3 第3題
題面
小A用字母 \(A\) 表示 \(1\)，用 \(B\) 表示 \(2\)，以此類推，用 \(Z\) 表示 \(26\)。對於 \(27\) 以上的數字，可以用兩位或者更長的字符串對應，例如 \(AA\) 表示 \(27\)，\(AB\) 表示 \(28\)，\(AZ\) 對應 \(52\)，\(AAA\) 對應 \(703\)……那么 \(BYT\) 字符串對應的數字是什么？
A.2018\(\qquad\)B.2020\(\qquad\)C.2022\(\qquad\)D.2024
分析與解答
我們發現，我們可以把它看成一種特殊的27進制數，這種數沒有 '0' 這個數字，打個比方，就像十進制數 '9' 之后直接是 '11'，'99' 之后直接是 '111'，即第二位向第三位進一時需要的數不用加上第一位的 26 ，那么我們可以發現，每 \(27\) 向第二位進一，但上一位需保留 \(1\)（所以第二位每一個一只包含26），每 \(26^2\) 向第三位進一
通過推算可以得到下表
| Str | Num | Str* |
|---|---|---|
| A | 1 | \(1\) |
| Z | 26 | \(Z\) |
| AA | 27 | \(Z + 1\) |
| AZ | 52 | \(Z + Z\) |
| BA | 53 | \(Z + Z + 1\) |
| ZZ | 702 | \(26^2 + Z\) |
| AAA | 703 | \(ZZ + 1\) |
| AZZ | 1378 | \(ZZ + 26^2\) |
| BZZ | 2054 | \(ZZ + 2 \times 26^2\) |
| BYZ | 2038 | \(ZZ + 2 \times 26^2 - Z\) |
| BYT | 2022 | \(ZZ + 2 \times 26^2 - Z - 16\) |
故選 B.
#1.4 第4題
題面
分析與解答
圖片大小計算公式:
這張圖片的大小為：
故選 B.
#1.5 第5題
題面
分析與解答
最快的排序為 桶排序,時間復雜度為 \(O(n)\)，故選 A.
#1.6 第6題
題面
分析與解答
樹是一個簡單無環連通圖，故①④錯
選 C.
#1.7 第7題
題面
分析與解答
每次分成兩堆，每張卷子至少查看兩次，故為 \(42 \times 2=84\) 次
故選 A.
#1.8 第8題
題面
分析與解答
- 前序遍歷（VLR）是二叉樹遍歷的一種，也叫做先根遍歷、先序遍歷、前序周游，可記做根左右。前序遍歷首先訪問根結點然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹。
- 中序遍歷（LDR）是二叉樹遍歷的一種，也叫做中根遍歷、中序周游。在二叉樹中，中序遍歷首先遍歷左子樹，然后訪問根結點，最后遍歷右子樹。
由以上的定義我們可以很輕松的畫出這棵樹：
我們又知道，二叉樹中，結點 \(i\) 的左兒子編號為 \(2 \times i\)，右兒子編號為 \(2 \times i+1\)，
故可得下圖
所以數組最大下標為 \(13\)
故選 B.
#1.9 第9題
題面
分析與解答
優先級： \(! > \&\& > ||\)
A選項：\(a\&\&b=0\)，\(b\&\&c=0\)，所以 \(0||0=0\)
B選項：\(a+b>c=0\)，\(b=0\)，所以 \(0||0=0\)
C選項：\(!c=0\)，\(!a||b=0\)，所以 \(0||0=0\)
D選項：\(a+b+c=2\)，C艹C++中bool運算非0即
故選 D.
#1.10 第10題
題面
分析與解答
鏈表的查詢是由前向后逐個查找，那么查詢次數最少的情況就是每次要查找的數都是鏈表的頭結點，每次只訪問一個結點，共有 \(k\) 次請求，故為 \(k\) 次
故選 B.
#1.11 第11題
題面
分析與解答
- 枚舉大法
這顯然是道排列組合，不過數據較小，可以枚舉（枚舉大法好）
要注意每個班有人數限制
| i | C | B | A |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 1 | 0 | 5 |
| 6 | 1 | 1 | 4 |
| 7 | 1 | 2 | 3 |
| 8 | 1 | 3 | 2 |
| 9 | 1 | 4 | 1 |
| 10 | 2 | 0 | 4 |
| 11 | 2 | 1 | 3 |
| 12 | 2 | 2 | 2 |
| 13 | 2 | 3 | 1 |
| 14 | 2 | 4 | 0 |
| 15 | 3 | 0 | 3 |
| 16 | 3 | 3 | 0 |
| 17 | 3 | 1 | 2 |
| 18 | 3 | 2 | 1 |
共 \(18\) 種
- 排列組合
我們可以將這個問題看成 “有 \(6\) 個相同的小球，放進 \(3\) 個不相同的的盒子中，每個盒子有限制，可以為空”，
我們先來求 “有 \(6\) 個相同的小球，放進 \(3\) 個不相同的的盒子中，可以為空” 的所有情況，即
其中 “有一個盒子中有 \(6\) 個小球，其余盒子為空” 的 \(3\) 種情況都無法滿足條件
“有一個盒子中有 \(5\) 個小球，其余兩個盒子中，有一個盒子里有 \(1\) 個球”的情況下，這 \(5\) 個球在B盒或C盒的 \(2 \times 2=4\) 種情況無法滿足條件
對於每個盒子，盒子里有 \(5\) 個球時，都有 \(2\) 種情況，為
1 5 0,0 5 1和0 1 5,1 0 5
“有一個盒子中有 \(4\) 個小球，其余 \(2\) 個球分散在剩下兩個盒子里” 的情況下，這 \(4\) 個球在C盒的 \(C^1_3=3\) 種情況無法滿足條件
就是將剩下兩個相同球放入兩個不同盒子里，盒子可以為空的情況數，
4 0 2,4 2 0,4 1 1
那么共有 \(28 - 3 - 4 - 3 = 18\) 種情況
故選 B.
#1.12 第12題
題面
分析與解答
各排序時間復雜度（平均）：
- 插入排序 \(O(n^2)\)
- 希爾排序 \(O(n^{1.3})\)
- 選擇排序 \(O(n^2)\)
- 堆排序 \(O(n\log{n})\)
- 冒泡排序 \(O(n^2)\)
- 快速排序 \(O(n\log{n})\)
- 歸並排序 \(O(n\log{n})\)
- 基數排序 \(O(d(r+n))\)（\(d\) 表示長度，\(r\) 表示關鍵字基數，\(n\) 表示關鍵字個數）
故選 B.
#1.13 第13題
題面
分析與解答
\(x \in [a,b)\) 表示 \(a \leqslant x < b\)
rand()%M表示生成一個在區間 \([0,M)\) 內的隨機數
所以rand()%M+a可生成一個在區間 \([a,M+a)\) 內的隨機數
那么生成一個在區間 \([a,b)\) 內的隨機數就等價於生成一個在區間 \([a,b-a+a)\) 內的隨機數
即為rand()%(b-a)+a
故選 A.
#1.14 第14題
題面
分析與解答
我們首先看森林和完全圖的定義：
森林(forest)是 \(m\)(\(m \geqslant 0\))棵互不相交的樹的集合。
完全圖是一個簡單的無向圖，其中每對不同的頂點之間都恰連有一條邊相連。
所以，只有一棵樹也可以稱作森林
那這道題就變成了 “一個7個頂點的完全圖需要至少刪掉多少條邊才能變成一棵樹？”
一個有7個頂點的完全圖共有 \(\dfrac{7 \times (7-1)}{2}=21\)條邊
一棵有7個結點的樹共有 \(6\) 條邊
所以最少刪去 \(21-6=15\) 條邊
故選 C.
#1.15 第15題
題面
分析與解答
第37屆全國青少年信息學奧林匹克競賽（CCF NOI2020）於2020年8月16-21日在長沙市一中雨花新華都學校舉行
故選 D.
#2.0 閱讀程序
#2.1 第1題
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXN 20
int gu[MAXN][MAXN];
int luo(int n, int m) {
if(n <= 1 || m < 2)
return 1;
if(gu[n][m] != -1)
return gu[n][m];
int ans = 0;
for(int i = 0;i < m;i += 2)
ans += luo(n - 1,i);
gu[n][m] = ans;
return ans;
}
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < MAXN; i++)
for(int j = 0; j < MAXN; j++)
gu[i][j] = -1;
cout << luo(n, m);
return 0;
}
1.luo函數中，\(m\) 的值不可能是奇數 （ ）
在主程序main()中，傳入luo(n,m)，這里 \(m\) 的值由鍵盤輸入，可以為奇數，故為錯
2.若將第11行的 “<” 改為 “<=”，程序的輸出結果可能會改變 （ ）
改后可能會多循環一次，結果可能會改變，故為對
3.若將第8.9.13行刪除，程序的運行的結果不變 （ ）
觀察程序可以發現，二維數組gu[i][j]是用作記憶化搜索
而第8.9.13行則是進行記憶化搜索的實現，記憶化搜索僅會減少程序運行的時間，但不會改變結果，故為對
4.在添加合適的頭文件后，將第19到21行替換為memset(gu,255,sizeof(gu));可以起到相同的作用 （ ）
第19到21行是給二維數組gu[i][j]賦初值 \(-1\)
memset() 是給每一個byte賦值，int是 \(4 byte = 32bit\)，\(255\) 的二進制是 11111111，賦值給int后，int中儲存的數為 11111111 11111111 11111111 11111111 ，
但是由於 int 是有符號的，以補碼形式儲存，第一位為符號位，自然變成了 \(-1\)，故為對
同樣的，當運行 memset(gu,-1,sizeof(gu)) 時，直接將 \(-1\) 以補碼形式（111111111）賦給 int ，
int中儲存的數為 11111111 11111111 11111111 11111111 ，結果也是 \(-1\)
5.若輸入數據為 4 8，則輸出為（ ）
A.7\(\qquad\)B.8\(\qquad\)C.15\(\qquad\)D.16
沒什么好說的，要有一顆勇於模擬的心ヽ(￣▽￣)و選B.
6.最壞情況下，此程序的時間復雜度是（ ）
A.\(O(m^2n)\qquad\)B.\(O(nm!)\qquad\)C.\(O(n^2)\qquad\)D.\(O(n^2m)\)
不會，過/kk 選 A.
#2.2 第2題
1.錯誤
調整之后，f[i][k]和f[k][j] 可能並沒有計算或得到的不是最優解，不能保證是全局最優解，而原程序則能保證為最優解
2.錯誤
m與輸入有關，想想為什么會有快讀這個東西
3.正確
注意數據范圍，當整個圖為一條鏈或數據足夠大時，答案會超出 \(10^7\)
4.正確
兩者順序更換對答案並無影響
5.A
我們首先需要知道這個程序是在求什么，
第14到19行，求的是原圖的全源最短路
第21到40行，則是將原圖中任意兩點並為一點(程序第 26 行的F[i][j] = F[j][i] = 0就是將兩點間的距離改為 \(0\))，再求出此時任意兩點間最短路長度之和，取最小值，數據並不大，可以手動模擬
我們先根據給出的數據畫出這個圖：
然后列出此時任意兩點間最短路長度，如下表：
| i | j | f |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
| 1 | 4 | 8 |
| 2 | 3 | 4 |
| 2 | 4 | 6 |
| 3 | 4 | 2 |
再根據上面的分析，依次並點，可得到：
| i | j | f |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 |
| 1 | 3 | 6 |
| 1 | 4 | 7 |
| 2 | 3 | 6 |
| 2 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 2 |
tot = 26
| i | j | f |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 0 |
| 1 | 4 | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| 2 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 2 |
tot = 15
| i | j | f |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 4 | 0 |
| 2 | 3 | 4 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 4 | 2 |
tot = 14
| i | j | f |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 3 |
| 1 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 0 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 4 | 2 |
tot = 15
| i | j | f |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 5 |
| 1 | 4 | 3 |
| 2 | 3 | 2 |
| 2 | 4 | 0 |
| 3 | 4 | 2 |
tot = 15
| i | j | f |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 6 |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 3 | 6 |
| 2 | 4 | 6 |
| 3 | 4 | 0 |
tot = 27
答案顯然是 \(14\)
6.A
這奇妙的時間復雜度，肯定就是Floyd(。-`ω´-)
#2.3 第3題
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MOD 19260817
#define MAXN 1005
long long A[MAXN][MAXN] = {0},sum[MAXN][MAXN] = {0};
int n,m,q;
int main(){
A[1][1] = A[1][0] = 1;
for (int i = 2;i <= 1000;i ++){
A[i][0] = 1;
for (int j = 1;j <= i;j ++)
A[i][j] = (A[i - 1][j] + A[i - 1][j - 1]) % MOD;
}
for (int i = 1;i <= 1000;i ++)
for (int j = 1;j <= 1000;j ++)
sum[i][j] = (sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1]
- sum[i - 1][j - 1] + A[i][j] + MOD) % MOD;
int q;
cin >> q;
while (q --){
int n,m;
cin >> n >> m;
cout << sum[n][m] << endl;
}
return 0;
}
1.當i<=j時，A[i][j]的值是0 （ ）
當i==j時，值為1，故為錯
2.當i>j時，A[i][j]的值相當於從個 \(i\) 不同元素中取出 \(j\) 個元素的排列數 （ ）
這里實際是 \(C^j_i\)，其遞推式與代碼中的遞推式符合。故為錯
拓展-組合數遞推公式
簡單證明：從 \(n\) 個不同的數中取 \(m\) 個數，第 \(n\) 個數如果取有 \(C^{m-1}_{n-1}\) 種情況，如果不取有 \(C^{m}_{n-1}\) 種情況
3.sum[i][j]的值 \((1 <j<i \leqslant 1000)\) 不小於 sum[i-1][j-1]的值 （ ）
注意這里有模數為 \(19260817\) （話說這個模數...好評[\doge]）
4.若將第12行改為 A[i][j] = (A[i - 1][j] + A[i - 1][j - 1] + MOD) % MOD;，程序的運行的結果不變 （ ）
沒有溢出問題的話，這樣寫是對的。這個寫法也常用來對負數取模。
5.A[i][j] \((1 \leqslant j,i \leqslant 10)\) ，的所有元素中，最大值是（ ）
A.126\(\qquad\)B.276\(\qquad\)C.252\(\qquad\)D.210
由組合數通項公式
可以看出，我們要找最大，要使 \(n\) 盡可能大， \(m! \cdot (n-m)!\) 盡可能小，\(10\) 以內組合數最大為 \(C^5_{10} = 252\)，故選C
6.若輸入的數為 1/5 3（其中 “/” 為換行符），則輸出為（ ）
A.10\(\qquad\)B.35\(\qquad\)C.50\(\qquad\)D.24
觀察程序，加以簡單計算，很容易發現 sum 就是楊輝三角的前綴和。
自己計算前綴和可得選C
#3.0 補全程序
#3.1 第1題
（封禁xxs）現有n個xxs（編號為1到n），每個xxs都有一個關注者，第i個xxs的關注者是ai。
現在管理員要將其中的一些xxs的賬號封禁，但需要注意的是如果封禁了第i個人，
那么為了不打草驚蛇，就不能封禁他的關注者ai。現在想知道最多可以封禁多少個xxs。
輸入第一行是一個不超過300000的整數n，第二行是n個1到n的整數表示ai。
輸出一行，一個整數表示答案。
#include <cstdio>
using namespace std;
#define MAXN 300005
int n, ans = 0, a[MAXN], in[MAXN] = {0};
bool vis[MAXN] = {0};
void dfs(int cur, int w) {
if(vis[cur])
return;
vis[cur] = true;
if(w == 1) ans++;
①
if(②)
dfs(a[cur], ③);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
in[a[i]]++;
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!in[i]) ④;
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(⑤) dfs(i, 0);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
1.①處應填（ ）
A.a[cur]=cur;
B.in[a[cur]]=0;
C.in[a[cur]]--;
D.in[cur]--;
該點已經遍歷過了，無論是否刪除，都不會再次遍歷，所以我們可以視為把它去掉，那么我們就要將這個結點（cur）的關注者（a[cur]）關注的人數（in[a[cur]]）減一
故選 C.
2.②處應填（ ）
A.in[a[cur]]!=0||w==1
B.in[a[cur]]==0||w==0
C.in[a[cur]]!=0||w==0
D.in[a[cur]]==0||w==1
當這個結點（cur）的關注者（a[cur]）關注的人數已經清零（注意這里的清零可能是被去掉但沒被刪除），那么可以傳入看看a[cur]是否可以刪除；
若這個結點已經被刪除（\(w=1\)），那么這個結點的關注者一定不能被刪除，便可以傳入進行標記並去掉。
故選 D.
3.③處應填（ ）
A.0
B.1
C.w
D.1-w
這里要與上一題結合起來，有以下兩種情況：
- 這個結點已經被刪除（\(w=1\)），那么這個結點的關注者一定不能被刪除，所以我們要使傳入的 \(w\) 為 0
- 這個結點的關注者關注的人數已經清零,那么有以下兩種情況：
- 清零的所有操作中存在刪除操作，即存在 \(w=1\) 的情況，那么顯然在刪除時便會符合第一種情況，需傳入 \(w=0\)；
- 清零的所有操作都是去掉而不是刪除，即每一次 \(w\) 都為 \(0\)，那么顯然這個新結點可以被刪除，需傳入 \(w=1\)；
綜上，我們可以看出，每次傳入時 \(w\) 的值要取反，那么符合的代碼為1-w
故選 D.
4.④處應填（ ）
A.dfs(i,1)
B.dfs(i,0)
C.dfs(a[i],1)
D.dfs(a[i],0)
觀察此循環中if語句的條件，當這個結點不是任何其他結點的關注者（這個結點關注的人數為0），那么我們可以直接將它刪掉，故應傳入 \(w=1\)
故選 A.
5.⑤處應填（ ）
A.!in[i]
B.in[i]
C.!vis[i]
D.vis[i]
這里就是把沒有遍歷到的點遍歷完
#3.2 第2題
（燒作業）某課作業布置了N（3≤N≤100000）個題目，第i題對應的得分是ai。
作業的總得分的計算方式為去掉作業中得分最小的一個題，剩下其它所有題目得分的平均值。
但很不幸小A遇到了一場火災，前K（1≤K≤N-2）個題目被燒了，無法記錄得分。
小A想知道，K是多少時，可以得到最高的作業得分？
作業被燒了前K頁，這時的得分是從第K+1頁到最后一頁中，去除最小得分后取平均值。
輸入第一行是整數N，第二行是n個不超過10000的非負整數表示ai。
輸出一行，若干個整數表示答案。如果有多個K，請依次升序輸出。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define MAXN 100002
using namespace std;
int n, k[MAXN], cnt = 0;
int s[MAXN], minScore, sum;
double maxAverage = 0, nowAverage;
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &s[i]);
minScore = s[n];
①;
for(int i = n - 1; i >= 2; i--) {
minScore = min(minScore, s[i]);
②;
nowAverage = ③;
if(nowAverage > maxAverage) {
④
maxAverage = nowAverage;
} else if(fabs(nowAverage - maxAverage) < 1e-6)
⑤;
}
for(int i = cnt; i >= 1; i--)
printf("%d\n", k[i]);
return 0;
}
1.①處應填（ ）
A.sum=n
B.sum=s[1]
C.sum=s[n]
D.sum=0
觀察程序，顯然是從最后一頁開始，進行累加，所以初始值為sum=s[n]
故選 C.
2.②處應填（ ）
A.sum=maxAverage*(n-i)
B.sum+=s[i]
C.sum+=s[n-i]
D.sum=s[i]+minScore
這里是進行累加，顯然是將 s[i] 的值加入 sum
故選 B.
3.③處應填（ ）
A.(double)(sum+minScore)/(n-i)
B.sum*1.0/(n-i)
C.(int)(sum-minScore)/(n-i)
D.(double)(sum-minScore)/(n-i)
讀題，要求是去掉最小值，再取平均值，nowAverag的類型是double
故選 D.
4.④處應填（ ）
A.k[++cnt]=i;
B.k[cnt++]=i-1
C.cnt=1;k[cnt]=i-1;
D.cnt=0;k[cnt]=i;
當當前平均值大於以往最大平均值，我們要更新最大值，而 cnt 是計數，可能有多個相似的結果，所以我們要先將 cnt 置為 \(1\)，再進行更新
故選 C.
5.⑤處應填（ ）
A.k[cnt++]=i;
B.k[++cnt]=i-1;
C.k[cnt++]=n-i;
D.k[cnt]=i;
當有近似值時增加可能的 \(k\) 值，但顯然 cnt 在第一次將 \(k\) 存入時，並沒有自增加，所以這里要先自加一
故選 B.
#4.0 補充說明
第11題排列組合不懂的朋友可以看一下下面這篇博客：
最后祝各位 \(CSP2020 \quad rp++\) !
更新日志及說明
更新
- 初次完成編輯 - \(2020.10.9\)
- 增添了 #2.2 閱讀程序第2題第5小題 的模擬過程
添加了 #2.3 閱讀程序第3題 - \(2020.10.10\)- 添加了 #3.0 補全程序 - \(2020.10.11\)
本文若有更改或補充會持續更新