原題傳送門
一道01背包的入門 & 模板題，以下主要提供兩種思路
\(Solution\ 1\)
看到這道題，首先想到的就是用二維數組來\(DP\)
狀態的表示：\(f[i][j]\)表示前\(i\)個總重量不超過\(j\)的最大價值
狀態的轉移：\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i])\ (w[i]<=j)\)
注：\(w[i]\)表示第\(i\)個物品的重量，\(c[i]\)表示第\(i\)個物品的價值，\(j\)表示當前的最大重量
最優解：\(f[n][m]\)
注：\(n\)指物體數量，\(m\)指最大重量
\(Code\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
int f=1;
char ch=getchar();
x=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
x*=f;
}
int m,n;
int f[201][201]={0};
int w[31],c[31];
int main(){
read(m);read(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
read(w[i]);
read(c[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){ //當前物體編號
for(int j=m;j>0;j--){ //當前最大重量
if(w[i]<=j) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
else f[i][j]=f[i-1][j];
}
}
printf("%d",f[n][m]);
return 0;
}
\(Solution\ 2\)
顯然，二維數組的空間占用非常大。如果背包的最大空間再大一些，就會喜提\(MLE\)的好成績
那就有一種新的方法：
狀態的表示：\(f[j]\)表示不超過\(j\)重量的最大價值
狀態的轉移：\(f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])\)
注：\(i\)依然表示物品編號
最優解：\(f[m]\)
注：\(m\)表示最大重量
\(Code\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
int f=1;
char ch=getchar();
x=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
x*=f;
}
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
int f=1;
char ch=getchar();
x=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
x*=f;
}
int m,n;
int f[201]={0};
int w[31],c[31];
int main(){
read(m);read(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
read(w[i]);
read(c[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=w[i];j--){ //j>=w[i]保證一定能裝下
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
}
}
printf("%d",f[m]);
return 0;
}
看到最后，可能會有一個問題：為什么需要倒序循環？
觀察狀態轉移方程：\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i])\ (w[i]<=j)\)
\(f[i][j]\)的值只與上一行的值\(f[i-1][]\)有關
更新的時候需要用到舊值，倒序防止循環被覆蓋。