膜拜國家隊長鈴醬！！！

題面

對於 \(a, b, c\) 的每一個排列, 求 \(max(\frac{\operatorname{lcm}(x, z)\gcd(y, z)}{\gcd(x,y)})\)

對於一個質數 \(p\)。

設 \(x\) 中有 \(a\) 個因數 \(p\)

\(y\) 中有 \(b\) 個因數 \(p\)

\(z\) 中有 \(c\) 個因數 \(p\)

\(p\) 對 \(max(\frac{\operatorname{lcm}(x, z)\gcd(y, z)}{\gcd(x,y)})\) 的貢獻為 \(p^{max(a, z) + min(b, c) - min(a, b)}\)

考慮上面那個 \(max(a, c) + min(b, c) - min(a, b)\)

如果可以讓加的盡量大，減去的盡量小，那他肯定是最大值。

就是讓 \(max(a, c)\) 取 \(a, b, c\) 最大值， \(min(b, c)\) 取 \(a, b, c\) 次大值， \(min(a, b)\) 取 \(a, b, c\) 中最小值。這里的構造就是 \(c > b > a\)。

這樣 \(max(max(a, c) + min(b, c) - min(a, b)) = a + b + c - 2min(a, b, c)\) （ 就是（最大值 + 次大值 + 最小值）- 2 * 最小值 ）

那么對於 \(a, b, c\) 的每一個排列, \(p^{max(a, z) + min(b, c) - min(a, b)}\) 的最大值就是 \(p^{a + b + c - 2min(a, b, c)}\)

這樣 \(max(\frac{\operatorname{lcm}(x, z)\gcd(y, z)}{\gcd(x,y)}) = \frac{xyz}{{\gcd(x, y, z)}^2}\)

\[\sum\limits_{x = 1}^{n} \sum\limits_{y = 1}^{n} \sum\limits_{z = 1}^{n} \frac{xyz}{{\gcd(x, y, z)}^2} \]

\[= \sum\limits_{p = 1}^n \frac{1}{p^2} \sum\limits_{x = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor} \sum\limits_{y = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor} \sum\limits_{z = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor} [gcd(x, y, z) = 1] p^3 xyz \]

\[= \sum\limits_{p = 1}^n \sum\limits_{d = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor} \mu(d) \sum\limits_{x = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor} \sum\limits_{y = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor} \sum\limits_{z = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor} d^3p xyz \]

設 \(L = dp\)

\[= \sum\limits_{L = 1}^n L \sum\limits_{d | L} \mu(d) d^2 \sum\limits_{x = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor} \sum\limits_{y = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor} \sum\limits_{z = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor} xyz \]

\[= \sum\limits_{L = 1}^n L sum(\left\lfloor\frac{n}{L}\right\rfloor)^3 \sum\limits_{d | L} \mu(d) d^2 \]

(其中 \(sum(x) = \sum\limits_{i=1}^x i = \frac{i(i+1)}{2}\))

線性篩一下 \(\sum\limits_{d | L} \mu(d) d^2\) 就是 \(O(n)\) 的了

事實上如果多測，整除分塊可以單次 \(O(\sqrt n)\), 使用杜教篩優化還可以做到 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)