低差異序列簡介

在進行采樣的過程中，經常需要生成隨機數，為了能夠得到一個盡可能好的采樣結果，均勻的隨機數是非常重要的。下圖是我利用偽隨機數采樣得到的一系列點，可以看到其實還是不夠均勻的：

因此，如何得到一組分布均勻的隨機數就成為了一個問題，本文所介紹的低差異序列技術就嘗試解決它。
本文主要參考自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/20197323 這篇文章

Radical Inversion

要介紹低差異序列，就要首先講解一個基本的運算：Radical Inversion，它的定義如下：

其中i代表一個整數，b也是一個整數，\(\LARGE a_0(i)\)，\(\LARGE a_1(i)\)，\(\LARGE a_2(i)\)……\(\LARGE a_{M-1} (i)\)代表i在b進制下每一位的數，然后把每一位的a組成一個向量乘以一個矩陣C得到一個新的向量，再與向量\(\LARGE [b^{-1},b^{-2}...b^{-M}]\)相乘即得到i以b為底數，以C為生成矩陣的radical inversion \(\LARGE \Phi_{b,C}(i)\)。
當C是單位矩陣的時候，我們就得到了Van der Corput序列：

下圖展示了以2為底數的Van der Corput序列的例子：

Van der Corput序列保證了每一個樣本點會落在當前“最沒有被其他點覆蓋”的區域；此外，當樣本個數達到\(b^m\)個點時，對[0,1)會形成均勻的划分。
很多時候Van der Corput序列並不能夠代替偽隨機數，因為點的位置和索引有很強的關系，例如在以2為底的Van der Corput序列中，索引為基數時候序列的值大於等於0.5，偶數時則小於0.5。

Halton序列與Hammersley點集

Halton和Hammersley基於Van der Corput序列，它們可以生成在無窮維度上分布均勻的點集。
Halton序列的定義如下：

和Van der Corput序列的不同在於每一個維度的底數是不斷變化的，其中\(b_1,b_2,...,b_n\)互為質數。
Hammersley點集的定義和Halton非常類似：

唯一的不同在於將第一個維度變成\(\LARGE\frac{i}{N}\)，其中i為樣本點的索引，N為樣本點集中點的個數。根據定義，Hammersley點集只能生成固定數目個樣本，而Halton序列則可以生成無窮個樣本。Hammersley的“差異度”比Halton更稍低一些，但是代價是必須預先知道點的數量，並且一旦固定沒法更改。下圖展示了Halton（左）和Hammersley（右）的二維采樣示例：

下面展示了HLSL實現的Hammersly序列代碼：

float VanDerCorpus(uint n, uint base)
{
	float invBase = 1.0 / float(base);
	float denom = 1.0;
	float result = 0.0;

	for (uint i = 0u; i < 32u; ++i)
	{
		if (n > 0u)
		{
			denom = fmod(float(n), 2.0);
			result += denom * invBase;
			invBase = invBase / 2.0;
			n = uint(float(n) / 2.0);
		}
	}

	return result;
}

float2 Hammersley(uint i, uint N)
{
	return float2(float(i) / float(N), VanDerCorpus(i, 2u));
}