Halton序列
在統計學中，Halton序列是用於生成空間中的點的序列，如Monte Carlo模擬的數值方法，雖然這些序列是確定性的，但它們的差異性很低，也就是說，在許多方面看起來是隨機的。它們在1960年首次提出，是准隨機數列的一個例子。它們概括了一維Van der Corput序列
用於生成\(R^2\)中(0,1)x(0,1)點的Halton序列的例子
Halton數列是以質數為基的確定性方法構造的。舉個簡單的例子，讓我們把Halton序列的一個維度基於2，另一個基於3。為了生成2的序列，我們首先將區間\((0,1)\)分成兩半，然后分成四分之一、八分之一等，這就產生了
等價的，這個序列的第n個數字是用二進制表示的數字n，倒過來，並寫在小數點之后。這對任何基數都是如此。舉個例子，要找到上述序列的第六個元素，我們要寫\(6=1*2^2+1*2^1+0*2^0=110_2\)，可以倒置並放在小數點之后，得到\(0.011_2=0*2^{-1}+1*2^{-2}+1*2^{-3}=\frac{3}{8}\)。所以上面的序列與\(0.1_2,0.01_2,0.11_2,0.001_2,0.101_2,0.011_2,0.111_2,0.0001_2,0.1001_2\)相同
為了生成3的序列，我們把區間\((0,1)\)分成三份，然后是九份，二十七份，等等...這就產生了（同理表示成三進制的數，然后進行相應操作）
當我們把它們配對起來時，我們會得到一個單位方格中的點的序列。
盡管標准的Halton序列在低維情況下表現的很好，但由高質數生成的序列之間存在相關問題。例如，如果我們從質數17和19開始，前16個對點數:\((\frac{1}{17},\frac{1}{19}),(\frac{2}{17},\frac{2}{19}),(\frac{3}{17},\frac{3}{19})...(\frac{16}{17},\frac{16}{19})\)具有完美的線性相關性。為了避免這種情況，通常會刪除前20個條目，或者根據選擇的指數來刪除其他預定的數量。還提出了其他幾種辦法，最突出的解決方案之一是scrambled Halton序列，它使用在構建標准序列中使用的系數的排列組合。另一個解決方案是leaped Halton，它會在標准序列中跳過點(例如，只有每409個點(也可以是其他沒有在Halton核心序列中使用的質數)，才能取得顯著的改進)。
實現
偽代碼
algorithm Halton-Sequence is
inputs: index i
base b
output: result r
f⬅1
r⬅0
while i > 0 do
f⬅f/b
r⬅r+f * (i mod b)
i⬅[i/b]
return r
下面的生成器函數 generator function （Python）中給出了另一種實現方式，它可以產生以\(b\)為基數的Halton序列的后續數字。這種算法在內部只使用整數，這使得它對四舍五入的錯誤具有很強的健壯性。
def halton(b):
"""Generator function for Halton sequence."""
n, d = 0, 1
while True:
x = d - n
if x == 1:
n = 1
d *= b
else:
y = d // b
while x <= y:
y //= b
n = (b + 1) * y - x
yield n / d
參照
補充原文
原文中陳述了很多具體的例子，而缺乏了一些Halton序列本身的說明，使用場景、以及與其他序列使用對比的差異，故在此處進行補充，更詳細的介紹可參考https://zhuanlan.zhihu.com/p/20197323
Halton和Hammersley可以生成在無窮維度上分布均勻的點集，它們都基於Van der Corput序列
Halton序列的定義很簡單：
既是每一個維度都是一個基於不同底數\(b_n\)的Van der Corput序列，其中\(b_1...b_n\)互為質數（例如第\(1\)到第\(n\)個質數）
Hammersley點集的定義和Halton非常相似
以下是Hammersley點集的定義
唯一不同的就是把第一個維度變成\(\frac{i}{N}\)，其中\(i\)為樣本點的索引，\(N\)為樣本點集中點的個數。根據定義，Hammersley點集只能生成固定數目個樣本，而Halton序列則可以生成無窮個樣本（當然在計算機里我們只有有限的bit去表示有限個樣本點）
上面左邊的圖為第1-100個Halton序列中的二維的樣本點，\((\varPhi_2(i),\varPhi_3(i))^{99}_{i=0}\)，右邊則為數量為100的二維Hammersley樣本點集，\((\frac{i}{100},\varPhi_2(i))^{99}_{i=0}\)。可以看出來它們的分布都遠比一般的偽隨機數更加均勻。Hammersley的差異性比Halton更稍低一些，但是代價是必須預先知道點的數量，並且一旦固定無法更改虛幻引擎4中對環境貼圖的Filter采樣就是用的點集大小固定為1024的Hammersley點集。Halton雖然差異性稍高，但可以不受限制的生成無窮多個點，更適合於沒有固定樣本個數的應用，例如任何progressive或者adaptive的過程。
基於radical inversion的序列還都具有Stratified樣本的性質。因為每一個維度都是一個radical inversion，所以每一維度都具有所有之前提到的radical inversion的性質。其中之一就是點集個數到達\(b^m\)個點時對\([0,1)\)會形成uniform的划分。下圖是第1-12個Halton序列的二維點集，可以看出點0-7在X軸的投影和0-8在Y軸的投影都是均勻覆蓋。這也意味着在樣本數量等於每個維度底數的公倍數的適合，樣本會自然在每個維度上底數的倍數的strata中自然的形成stratified采樣。例如下圖中的第0-5個點，剛好在圖中落在2x3的strata中。
\(\frac{1}{29},\frac{2}{29},\frac{3}{29}...\)所以造成了點都集中落在了一條直線上面。解決這個問題的方法也很簡單，Scrambling。Scrambling的方法有許多種，例如最簡單的XOR Scrambling適用於以2為底數的序列。對於Halton來說，一個比較常用的方法是Faure Scrambling。
如上面的公式所寫，Faure Scrambling的做法就是在做radical inverse的時候不直接將數字鏡像到小數點右邊，而在鏡像前先把每個數字通過一個permutation\(\sigma _b\)轉換成另一個數字。不同的底數\(b\)有不同的permutation\(\sigma\)。例如\(\sigma_4=[0,2,1,3]\)。至於\(\sigma_b\)如何具體計算這里不再展開，下一篇專欄在講實現時會給出參考鏈接。這里值得一提的時Scrambling完全不會影響radical inversion序列分布的隨機性，因為radical inversion會自然的將空間均等划分成底數\(b\)的整數次冪個部分，scrambling本質上就是在交換這些均等划分的部分，所以Scrambled后的序列依然具有radical inversion的性質。
實現
實現偽代碼
double make_halton_sequence(int index, int base) {
double f = 1, r = 0;
while (index > 0) {
f = f / base;
r = r + f * (index % base);
index = index / base;
}
return r * randpoint_scale;
}
void halton_random()
{
// 此處討論生成二維隨機數，如要產生多維，base需要是不重復的質數即可
// 三維:base 2 3 5
for (uint i = 0u; i < max_num; ++i)
{
draw_points.emplace_back(make_halton_sequence(i, 2), make_halton_sequence(i, 3));
// 三維
draw_points.emplace_back(make_halton_sequence(i, 2), make_halton_sequence(i, 3)
, make_halton_sequence(i, 5));
}
}
Halton序列在底數較大的時候，樣本個數會有很嚴重的correlation。所以需要采用Scrambling解決這個問題RadicalInverse的實現的效率依賴於一個循環，將索引Index的數字左右顛倒。這一步驟可以通過一次將多個連續數字的左右顛倒連同Faure Scrambling預計算出來，存在一個查找表里。運行的時候直接將索引的多個數字提取出來，然后直接查表得到結果。下面給出一段以5作為底數的Halton序列實現
詳細做法可參考：HALTON The Halton Quasi Monte Carlo (QMC) Sequence
與Hammersley序列的對比
Hammersley序列的介紹與實現可參考這篇：
Halton序列無需在生成隨機數之前，知道需要生成隨機點的個數，但是在用一些比較大的質數作為底數時，Halton序列的分布在點的數量不那么多的時候並不會均勻的分布，只有當點的數量接近底數的冪的時候分布才會逐漸均勻
效果對比
Halton序列比一般的偽隨機數更加地分布均勻，因為此處是沒有對Halton進行優化的，即沒有Scrambling，可從另一幅圖看到，Hammersley序列比未優化的Halton序列相對來說更加地均勻，但未優化的效果也可以說是比較不錯的了
引用
翻譯自：https://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence
引用博客：
可拓展閱讀：