正態分布樣本均值和樣本方差的獨立性證明

我們經常在數理統計的書上看到2個一筆帶過的結論：

　　正態分布下：1. 樣本均值和樣本方差獨立     

　　　　　　　　 2.  (n-1)S²/σ² ~ Χ²(n-1)   　

很多人都會對這2個結論產生疑問:

　　1).均值和方差都是由X₁,...X_n構成，看起來明顯有關系，怎么會獨立呢？

　　2).一般的解釋為有一個約束條件所以減1,到底怎么界定這個約束條件?

問題其實都是可以證明的，過程如下:

　　設X₁,...X_n獨立同分布且服從正態分布N(μ,σ²)

　　構造正交矩陣A

　　令Y=AX

　　E(Y)=E(AX)=AE(X)=(n^1/2μ,0,...,0)

　　Y^TY=(AX)^TAX=X^TA^TAX=X^TX

　　

 

 

 　　

　　

　　

 

　　 (n-1)S²/σ² ~ Χ²(n-1)