B題穿越沙漠
本題主要考察學生對各類離敗優化問題的建模求解能力。
2020年高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
（請先閱讀“全國大學生數學建模競賽論文格式規范”）
B題 穿越沙漠
考慮如下的小游戲：玩家憑借一張地圖，利用初始資金購買一定數量的水和食物（包括食品和其他日常用品），從起點出發，在沙漠中行走。途中會遇到不同的天氣，也可在礦山、村庄補充資金或資源，目標是在規定時間內到達終點，並保留盡可能多的資金。
游戲的基本規則如下：
（1）以天為基本時間單位，游戲的開始時間為第0天，玩家位於起點。玩家必須在截止日期或之前到達終點，到達終點后該玩家的游戲結束。
（2）穿越沙漠需水和食物兩種資源，它們的最小計量單位均為箱。每天玩家擁有的水和食物質量之和不能超過負重上限。若未到達終點而水或食物已耗盡，視為游戲失敗。
（3）每天的天氣為“晴朗”、“高溫”、“沙暴”三種狀況之一，沙漠中所有區域的天氣相同。
（4）每天玩家可從地圖中的某個區域到達與之相鄰的另一個區域，也可在原地停留。沙暴日必須在原地停留。
（5）玩家在原地停留一天消耗的資源數量稱為基礎消耗量，行走一天消耗的資源數量為基礎消耗量的倍。
（6）玩家第0天可在起點處用初始資金以基准價格購買水和食物。玩家可在起點停留或回到起點，但不能多次在起點購買資源。玩家到達終點后可退回剩余的水和食物，每箱退回價格為基准價格的一半。
（7）玩家在礦山停留時，可通過挖礦獲得資金，挖礦一天獲得的資金量稱為基礎收益。如果挖礦，消耗的資源數量為基礎消耗量的倍；如果不挖礦，消耗的資源數量為基礎消耗量。到達礦山當天不能挖礦。沙暴日也可挖礦。
（8）玩家經過或在村庄停留時可用剩余的初始資金或挖礦獲得的資金隨時購買水和食物，每箱價格為基准價格的2倍。
請根據游戲的不同設定，建立數學模型，解決以下問題。
1. 假設只有一名玩家，在整個游戲時段內每天天氣狀況事先全部已知，試給出一般情況下玩家的最優策略。求解附件中的“第一關”和“第二關”，並將相應結果分別填入Result.xlsx。
2. 假設只有一名玩家，玩家僅知道當天的天氣狀況，可據此決定當天的行動方案，試給出一般情況下玩家的最佳策略，並對附件中的“第三關”和“第四關”進行具體討論。
3. 現有名玩家，他們有相同的初始資金，且同時從起點出發。若某天其中的任意名玩家均從區域A行走到區域B()，則他們中的任一位消耗的資源數量均為基礎消耗量的倍；若某天其中的任意名玩家在同一礦山挖礦，則他們中的任一位消耗的資源數量均為基礎消耗量的倍，且每名玩家一天可通過挖礦獲得的資金是基礎收益的；若某天其中的任意名玩家在同一村庄購買資源，每箱價格均為基准價格的倍。其他情況下消耗資源數量與資源價格與單人游戲相同。
（1）假設在整個游戲時段內每天天氣狀況事先全部已知，每名玩家的行動方案需在第天確定且此后不能更改。試給出一般情況下玩家應采取的策略，並對附件中的“第五關”進行具體討論。
（2）假設所有玩家僅知道當天的天氣狀況，從第天起，每名玩家在當天行動結束后均知道其余玩家當天的行動方案和剩余的資源數量，隨后確定各自第二天的行動方案。試給出一般情況下玩家應采取的策略，並對附件中的“第六關”進行具體討論。
注1：附件所給地圖中，有公共邊界的兩個區域稱為相鄰，僅有公共頂點而沒有公共邊界的兩個區域不視作相鄰。
注2：Result.xlsx中剩余資金數（剩余水量、剩余食物量）指當日所需資源全部消耗完畢后的資金數（水量、食物量）。若當日還有購買行為，則指完成購買后的資金數（水量、食物量）。