任意兩點最短路徑問題

問題描述

       輸入：圖G = (V,E)

       輸出：圖中任意兩點的最短路徑

算法描述（Floyd算法）

     1. 分析優化子結構

       定理1，V_i，V_j的最短路徑包含兩點V_m，V_n，那么V_i，V_j的最短路徑中對應V_m，V_n的部分一定是V_m，V_n在該圖中的一條最短路徑。

       證明1，可以通過反證法進行證明，如果不是，那么可以構造出比當前V_i，V_j的最短路徑更短的路徑。

     2. 分析子問題重疊性。

       首先，需要了解V_i，V_j的遞歸代價方程。

       定義：D(i,j)為V_i，V_j的最短路徑長度。

• D(i,j) = 0，if i = j.
• D(i,j) = min ( D(i,j) , D(i,k) + D(k,j))，其中，i ≤ k ≤ j，if i ≠ j.

       那么此問題的計算形式基本上於矩陣鏈乘問題的計算形式，這就是一個划分動態規划，那么同理自然就有子問題重疊性。

     3.遞歸地定義最優解的代價 

• D(i,j) = 0，if i = j.
• D(i,j) = min ( D(i,j) , D(i,k) + D(k,j))，其中，i ≤ k ≤ j，if i ≠ j.

     4.自底向上地計算優化解的代價保存之，並獲取構造最優解的信息

       對於該算法而言，計算順序是值得思考的。如果直接進行遍歷計算，可能當計算D(i,j)時，所使用的D(i,k)以及D(k,j)都並非是最小代價，可以說，每個D(i,j)都相互影響。

       解決辦法為：構建頂點集合S以及表示任意兩點之間最小路徑代價的二維矩陣M，

• 初始時，S為空，M中僅僅將邊錄入，無邊記為無窮。
• 依次向S中加入頂點，並僅僅將該頂點作為遞歸方程中的頂點V_k，更新M。
• 當S = V時，M中記為最短路徑代價。

      故而可以設計算法為：

Floyd算法
D <-- W
P <-- 0
For k = 1 to n Do /*k控制填入元素*/
     For i = 1 to n Do /*i，j控制矩陣的遍歷*/
        for j = 1 to n
           if (D[ i, j ] > D[ i, k ] + D[ k, j ] )
           then D[ i, j ] = D[ i, k ] + D[ k, j ]
                   P[ i, j ] = k; 

     5.根據構造最優解的信息構造優化解

        注意，下列算法只打印中間節點，而不會答應起止節點，所以，P中無邊或者直接有邊的值均為0.

path(index q, r)
     if (P[ q, r ]!=0)
         path(q, P[q, r])
         println( “v”+ P[q, r])
         path(P[q, r], r)
         return;
     //no intermediate nodes
     else return 

　 6.算法復雜性分析：

       時間復雜性：

           計算代價的時間復雜性：O(n^3)。

           構造最優解時間復雜性：O(n)。最多只會遍歷n個頂點

           空間復雜性：O(n^2)。