最短路徑條數問題

單源點的最短路徑：給定帶權有向圖G和源點v，求從v到G中其余各頂點的最短路徑。

求解方法：Dijkstra算法，基本思想是按路徑長度遞增的次序產生最短路徑的算法。若S為已求得最短路徑的終點的集合，那么下一條最短路徑（設其終點為x）或者弧（v,x），或者是中間只經過S中的頂點而最后到達頂點x的路徑。

 

廣度優先搜索的思想：

假設從圖中某頂點v出發，在訪問了v之后依次訪問v的各個未曾訪問過的鄰接點，然后分別從這些鄰接點出發依次訪問它們的鄰接點，並使“先被訪問的頂點的鄰接點”先於“后被訪問的頂點的鄰接點”被訪問，直至圖中所有已被訪問的頂點的鄰接點都被訪問到。由於在訪問的過程中，要按照訪問順序來訪問已訪問頂點的鄰接點，因此蘊含了一種“先進先出”的思想，可以使用隊列來完成這個任務。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;

const int N=16;

int shortest_path(int G[N][N])
{
    int step[N]; //從源點出發，每個結點最快第幾步到達
    int stepchoice[N]; //從源點出發，最短路徑的走法有幾種
    memset(step,0,sizeof(int)*N);
    memset(stepchoice,0,sizeof(int)*N);

    //廣度優先搜索遍歷圖
    queue<int> q; //使用隊列數據結構，存儲當前要搜索的結點
    stepchoice[0]=1;
    q.push(0); //從源點開始遍歷圖

    while(!q.empty())
    {
        int from=q.front(); //當前要搜索結點為隊首元素
        q.pop();
        int s=step[from]+1; //源點到from鄰接點的最短距離
        for(int i=1;i<N;i++) //遍歷from的所有鄰接點，0是源點不遍歷（因為0是源點，走的過程中不可能倒回去）
        {
            if(G[from][i]==1) //連通
            {
                if((step[i]==0)||(s<step[i]))
                {
                    step[i]=s;
                    stepchoice[i]=stepchoice[from];
                    //如果之前i已經被搜索到，但是最短距離被修改，那么相應i的鄰接點們也要重新被遍歷
                    //如果之前i未被搜索到，那么要繼續搜索它的鄰接點們
                    q.push(i);
                }
                else if(step[i]==s) //發現相同的路徑
                {
                    stepchoice[i]+=stepchoice[from];
                }
            }
        }
    }

    return stepchoice[N-1];

}

int main()
{
    int G[N][N];
    memset(G,0,sizeof(int)*N*N);
    //初始化矩陣
    G[0][1]=G[0][4]=1;
    G[1][0]=G[1][2]=G[1][5]=1;
    G[2][1]=G[2][3]=G[2][6]=1;
    G[3][2]=G[3][7]=1;
    G[4][0]=G[4][5]=1;
    G[5][1]=G[5][4]=G[5][6]=G[5][9]=1;
    G[6][2]=G[6][5]=G[6][7]=G[6][10]=1;
    G[7][3]=G[7][6]=1;
    G[8][9]=G[8][12]=1;
    G[9][5]=G[9][8]=G[9][10]=G[9][13]=1;
    G[10][6]=G[10][9]=G[10][11]=G[10][14]=1;
    G[11][10]=G[11][15]=1;
    G[12][8]=G[12][13]=1;
    G[13][9]=G[13][12]=G[13][14]=1;
    G[14][10]=G[14][13]=G[14][15]=1;
    G[15][11]=G[15][14]=1;

    printf("最短路徑條數：%d\n",shortest_path(G));

    return 0;
}