不定積分40例

一 直接積分法

例1 求不定積分

　　.

解 直接利用基本積分公式表與運算法則，計算得

　　　　

例2 求不定積分

　　

解 直接利用基本積分公式表與運算法則，計算得

　　　　

例3 求不定積分

　　

解 把被積函數拆成兩項之和，然后逐項積分，得

　　　　

例4 求不定積分

　　

解 把分子湊項，設法變成容易求積分的兩項之和，得

　　　　

例5 求不定積分

　　

解 利用三角函數的恆等式把被積函數拆成兩項之和，得

　　　　

例6 求不定積分

　　

解 先求出被積函數在(-∞,+∞)上的一個原函數F(x)，則所求不定積分就是F(x)+C，其中C是任意常數。下面求F(x)。

　　當x>=0時，e^|x|=e^x，故e^|x|有原函數e^x；當x<0時，e^|x|=e^-x，故原函數是-e^-x。令

　　　　

其中C₀是待定常數。欲使F(x)是被積函數在(-∞,+∞)上的原函數，需F(x)在點x=0連續，故應有F(0+0)=F(0-0)。由此得C₀=2。注意到對此F(x)，有F′(0) = 1 = e^|x||x=0，所以在(-∞,+∞)上F(x)處處可導且其導函數處處等於被積函數f(x)。因此被積函數在(-∞,+∞)上的一個原函數是

　　　　

從而，所求不定積分是F(x)+C，這里C是任意常數。

 

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二 第一換元積分法（湊微分法）

例7 求不定積分

　　

 

例8 求不定積分

　　

 

例9 求不定積分

　　

 

例10

 

例11

　　

 

例12

　　

例13

　　

解

　　

例14

　　

解

　　

例15

　　

解

　　

例16

　　

解

　　

 

 

 

 

 

 

 

 

三 第二換元積分法

四 分部積分法

五 有理函數的積分