對於似1/(1+x^4)型的不定積分的總結


  最近在求解一道不定積分的經典例題時遇到了一點小麻煩。的確,在處理1/(1+x^4)積分的時候,需要一定的技巧性,不然會使計算量變得龐大。

下面,我簡單的總結了類似結構不定積分的求解方法,希望大家看完之后能融會貫通,對多次項不定積分的求解能有一點心得(發揚最無私熱誠的程序猿精神,自己記在筆記本上不如拿出來大家分享,哈哈哈哈)。

首先,在求解這個終極問題的時候我們先來看2個子問題,完成了這兩個子問題的求解,1/(1+x^4)的問題也就迎刃而解了。

1、(x^2-1)/(x^4+1)的積分

 

ps:補充一個小點(這是1和2題的算法核心):


 

2、(x^2+1)/(x^4+1)的積分


 

3、1/(1+x^4)的積分*

有了以上兩個積分作為基礎,1/(1+x^4)就顯得很簡單了(如下,省去了拆分后的步驟)


 

4、x^2/(1+x^4)的積分

同理,4題的積分相當於3題中的 - 變成了 +


 


下面是拓展的幾個類結構不定積分,最后一題的待定系數法思想值得收藏。

5、x^4/(x^2-1)的積分


 

6、x^4/(x^2+1)的積分


 

7、1/(1+x^3)的積分

ps:在湊分子的過程中,如結構復雜一眼看不出來,必要時需使用待定系數法,而分子所設次數需比分母少一次,這樣才能保證配出系數。

 


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