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把之前做的還有沒做的重新做一遍吧，復習、整理一下。
用Markdown寫略gouzhi啊。。不過寫博客上也許方便？
保持每晚一兩道吧。
咕咕咕。
棄療了。。現在用不到寫來就忘。。而且寫起來太難寫了，以后有空再說。
第一類換元法
\[\begin{aligned}F[g(x)]&=\int F'[g(x)]g'(x)dx\\&=\int F'[g(x)]d[g(x)]\\&=F[g(x)]\end{aligned} \]
反正就是湊。
例1.$$\int\frac{\cos^2x-sin\ x}{\cos\ x(1+\cos\ x\ e^{sin\ x})}$$
應該是把\(\cos\ x\ e^{sin\ x}\)弄出來，而\((\cos\ x\ e^{sin\ x})'=e^{sin\ x}(\cos^2x-sin\ x)\)，所以答案就出來了。
\[\begin{aligned} \int\frac{\cos^2x-sin\ x}{\cos\ x(1+\cos\ x\ e^{sin\ x})}&=\int\frac{e^{sin\ x}(\cos^2x-sin\ x)}{e^{\sin\ x}\cos\ x(1+\cos\ x\ e^{sin\ x})}dx\\&=\int\frac{d(\cos\ x\ e^{sin\ x})}{\cos\ x\ e^{sin\ x}(1+\cos\ x\ e^{\sin\ x})}\end{aligned} \]
令\(t=\cos\ x\ e^{\sin\ x}\)
\[\begin{aligned} 原式&=\int\frac{dt}{t(t+1)}\\&=\int\frac{dt}{t}-\int\frac{d(t+1)}{t+1}\\&=ln|t|-ln|t+1|+C\\&=ln|\cos\ x\ e^{sin\ x}|-ln|\cos\ x\ e^{sin\ x}+1|+C \end{aligned} \]
1.$$\int\frac{dx}{e^x-e^{-x}}$$
\[\begin{aligned} \int\frac{dx}{e^x-e^{-x}}&=\int\frac{e^xdx}{(e^x)^2-1}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{de^x}{e^x-1}-\frac{1}{2}\int\frac{de^x}{e^x+1}\\&=\frac{1}{2}ln|e^x-1|-\frac{1}{2}ln|e^x+1|+C \end{aligned} \]
第二類換元法
1.三角代換
\[\sqrt{a^2-x^2}\rightarrow 令x=a\sin t，-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} \]
\[\sqrt{x^2-a^2}\rightarrow 令x=a\sec t，0<t<\frac{\pi}{2} \]
\[\sqrt{a^2+x^2}\rightarrow 令x=a\tan t，-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} \]
2.根式代換
\[令\sqrt{ax+b}=t，x=\frac{t^2-b}{a}，dx=d(\frac{t^2-b}{a})=...dt \]
3.倒代換
\[分母的冪高於分子的冪(>2)時，令t=\frac{1}{x} \]
例1.$$\int\frac{1}{1+\sqrt[3]{x+2}}dx$$
令\(t=\sqrt[3]{x+2}，x=t^3-2，dx=3t^2dt\)
\[\begin{aligned} \int\frac{1}{1+\sqrt[3]{x+2}}dx&=\int\frac{3t^2}{1+t}dt\\&=3\int\frac{t^2-1+1}{1+t}dt\\&=3\int[t-1+\frac{1}{t+1}]dt\\&=3\left[\frac{1}{2}(t-1)^2+\ln|t+1|\right]+C\\&=...x... \end{aligned} \]