前言
新開專欄【數據結構拾遺】
本專欄旨在快速了解常見的數據結構和算法。在需要使用到相應算法時，能夠幫助你回憶出常用的實現方案並且知曉其優缺點和適用環境。
參考
- 算法（第四版）：第五章5.3小節
- http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth–Morris–Pratt_algorithm.html
- https://www.cnblogs.com/gaochundong/p/string_matching.html#naive_string_matching_algorithm
- http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/boyer-moore_string_search_algorithm.html
子字符串匹配
子字符串匹配算法的定義：
- 文本長度：N
- 模式字符串長度：M
- 有效位移：s
解決字符串匹配的算法有非常多，目前常用的有以下幾種：
- 暴力查找
- KMP 算法
- Boyer-Moore算法
- Rabin-Karp指紋字符串查找
字符串匹配算法通常分為兩個步驟：預處理（Preprocessing）和匹配（Matching）。所以算法的總運行時間為預處理和匹配的時間的總和。
常用算法
暴力查找
參考：
https://www.cnblogs.com/gaochundong/p/string_matching.html#naive_string_matching_algorithm
朴素的字符串匹配算法又稱為暴力匹配算法（Brute Force Algorithm），它的主要特點是：
- 沒有預處理階段；
- 滑動窗口總是后移 1 位；
- 對模式中的字符的比較順序不限定，可以從前到后，也可以從后到前；
- 匹配階段需要 O((n - m + 1)m) 的時間復雜度；
- 需要 2n 次的字符比較；
KMP 算法
參考：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth–Morris–Pratt_algorithm.html
詳細過程：
從左到右匹配，直到匹配到第一個字符相等，如下圖所示，然后繼續匹配后面的字符。
到了D，發現不對，這是如果暴力法，則直接將模式后移一位，重新匹配。KMP算法的想法是，設法利用這個已知信息，不要把"搜索位置"移回已經比較過的位置，繼續把它向后移，這樣就提高了效率。
在查找的一開始根據模式字符串，生成一張《部分匹配表》（Partial Match Table）
移動位數 = 已匹配的字符數 - 對應的部分匹配值
所以移動為數 = 6 - 2 =4
這個《部分匹配表》如何生成？
"部分匹配值"就是"前綴"和"后綴"的最長的共有元素的長度。以"ABCDABD"為例，
－ "A"的前綴和后綴都為空集，共有元素的長度為0；
－ "AB"的前綴為[A]，后綴為[B]，共有元素的長度為0；
－ "ABC"的前綴為[A, AB]，后綴為[BC, C]，共有元素的長度0；
－ "ABCD"的前綴為[A, AB, ABC]，后綴為[BCD, CD, D]，共有元素的長度為0；
－ "ABCDA"的前綴為[A, AB, ABC, ABCD]，后綴為[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素為"A"，長度為1；
－ "ABCDAB"的前綴為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后綴為[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素為"AB"，長度為2；
－ "ABCDABD"的前綴為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后綴為[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度為0。
Python和Java實現參考自己的博客：
https://blog.csdn.net/qqxx6661/article/details/79583707
Boyer-Moore
參考：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/boyer-moore_string_search_algorithm.html
幾種常見的字符串匹配算法的性能比較：
KMP算法並不是效率最高的算法，實際采用並不多。各種文本編輯器的"查找"功能（Ctrl+F），大多采用Boyer-Moore算法。
詳細過程：
首先，"字符串"與"搜索詞"頭部對齊，從尾部開始比較。我們看到，"S"與"E"不匹配。這時，"S"就被稱為"壞字符"（bad character），即不匹配的字符。我們還發現，"S"不包含在搜索詞"EXAMPLE"之中，這意味着可以把搜索詞直接移到"S"的后一位。
依然從尾部開始比較，發現"P"與"E"不匹配，所以"P"是"壞字符"。但是，"P"包含在搜索詞"EXAMPLE"之中。所以，將搜索詞后移兩位，兩個"P"對齊。
"壞字符規則"：后移位數 = 壞字符的位置 - 搜索詞中的上一次出現位置（如果"壞字符"不包含在搜索詞之中，則上一次出現位置為 -1）
上圖中，比較的是P和E，出現在第6位（0開始），然后P上一次位置是4，所以6-4=2
接着繼續，一直比較到M：
根據"壞字符規則"，此時搜索詞應該后移 2 - （-1）= 3 位。問題是，此時有沒有更好的移法？
比較前面一位，"MPLE"與"MPLE"匹配。我們把這種情況稱為"好后綴"（good suffix），即所有尾部匹配的字符串。注意，"MPLE"、"PLE"、"LE"、"E"都是好后綴
"好后綴規則"：后移位數 = 好后綴的位置 - 搜索詞中的上一次出現位置
這個規則有三個注意點：
（1）"好后綴"的位置以最后一個字符為准。假定"ABCDEF"的"EF"是好后綴，則它的位置以"F"為准，即5（從0開始計算）。
（2）如果"好后綴"在搜索詞中只出現一次，則它的上一次出現位置為 -1。比如，"EF"在"ABCDEF"之中只出現一次，則它的上一次出現位置為-1（即未出現）。
（3）如果"好后綴"有多個，則除了最長的那個"好后綴"，其他"好后綴"的上一次出現位置必須在頭部。比如，假定"BABCDAB"的"好后綴"是"DAB"、"AB"、"B"，請問這時"好后綴"的上一次出現位置是什么？回答是，此時采用的好后綴是"B"，它的上一次出現位置是頭部，即第0位。這個規則也可以這樣表達：如果最長的那個"好后綴"只出現一次，則可以把搜索詞改寫成如下形式進行位置計算"(DA)BABCDAB"，即虛擬加入最前面的"DA"。
回到上文的這個例子。此時，所有的"好后綴"（MPLE、PLE、LE、E）之中，只有"E"在"EXAMPLE"還出現在頭部，所以后移 6 - 0 = 6位。
可以看到，"壞字符規則"只能移3位，"好后綴規則"可以移6位。所以，Boyer-Moore算法的基本思想是，每次后移這兩個規則之中的較大值。
Boyer–Moore 算法的精妙之處在於，其通過兩種啟示規則來計算后移位數，且其計算過程只與模式 P 有關，而與文本 T 無關。因此，在對模式 P 進行預處理時，可預先生成 "壞字符規則之向后位移表" 和 "好后綴規則之向后位移表"，在具體匹配時僅需查表比較兩者中最大的位移即可。
Rabin-Karp
參考：
https://www.cnblogs.com/tanxing/p/6049179.html
首先計算模式字符串的散列函數, 如果找到一個和模式字符串散列值相同的子字符串, 那么繼續驗證兩者是否匹配.
這個過程等價於將模式保存在一個散列表中, 然后在文本中的所有子字符串查找. 但不需要為散列表預留任何空間, 因為它只有一個元素.
基本思想
長度為M的字符串對應着一個R進制的M位數, 為了用一張大小為Q的散列表來保存這種類型的鍵, 需要一個能夠將R進制的M位數轉化為一個0到Q-1之間的int值散列函數, 這里可以用除留取余法.
舉個例子, 需要在文本 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 查找模式 2 6 5 3 5， 這里R=10， 取Q=997, 則散列值為
2 6 5 3 6 % 997 = 613
然后計算文本中所有長度為5的子字符串並尋找匹配
3 1 4 1 5 % 997 = 508
1 4 1 5 9 % 997 = 201
......
2 6 5 3 6 % 997 = 613 (匹配)
計算散列函數
在實際中，對於5位的數值, 只需要使用int就可以完成所有需要的計算, 但是當模式長度太大時, 我們使用Horner方法計算模式字符串的散列值
2 % 997 = 2
2 6 % 997 = (2*10 + 6) % 997 = 26
2 6 5 % 997 = (26*10 + 5) % 997 = 265
2 6 5 3 % 997 = (265*10 + 3) % 997 = 659
2 6 5 3 5 % 997 = (659*10 + 5) % 997 = 613
這里關鍵的一點就是在於不需要保存這些數的值, 只需保存它們除以Q之后的余數.
取余操作的一個基本性質是如果每次算術操作之后都將結果除以Q並取余, 這等價於在完成所有算術操作之后再將最后的結果除以Q並取余.
算法實現：
構造函數為模式字符串計算了散列值patHash並在變量中保存了R^(M-1) mod Q的值, hashSearch()計算了文本前M個字母的散列值並和模式字符串的散列值比較, 如果沒有匹配, 文本指針繼續下移一位, 計算新的散列值再次比較,知道成功或結束.
Java代碼：
https://www.cnblogs.com/tanxing/p/6049179.html
蒙特卡洛算法和拉斯維加斯算法區別：
總結
優點：
- 暴力查找算法：實現簡單且在一般情況下工作良好（Java的String類型的indexOf()方法就是采用暴力子字符串查找算法）；
- Knuth-Morris-Pratt算法能夠保證線性級別的性能且不需要在正文中回退；
- Boyer-Moore算法的性能一般情況下都是亞線性級別；
- Rabin-Karp算法是線性級別；
缺點：
- 暴力查找算法所需時間可能和NM成正比；
- Knuth-Morris-Pratt算法和Boyer-Moore算法需要額外的內存空間；
- Rabin-Karp算法內循環很長（若干次算術運算，其他算法都只需要比較字符）；
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