因為時間原因《數學模型》和《數學建模方法與分析》是看不完了，這篇文章作為這段時間閱讀建模書籍以及准備美賽期間建模的知識小結。
從這一個模型看數學建模必然是不全面的，不過我認為盡可能地去做好一個數學模型比漫無目的地做幾十個數學模型要好很多。
傳染病模型
基本數學模型
基本的數學模型有SI、SIS、SIR、SEIR
\(t\)表示時刻，地區總人數不變，\(f(t)\)表示人群占比
- SI模型：HIV，最簡單的模型，將人群分為易感染者\(s(t)\)和已感染者\(i(t)\)，設\(\lambda\)為感染率(有效接觸率)
\[s(t)+i(t)=1 \]
\[\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\lambda si \]
- SIS模型：普通流感模型，增加治愈率常數\(\mu\)
\[s(t)+i(t)=1 \]
\[\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\lambda si-\mu i \]
- SIR模型：急性傳染病模型，增加病愈免疫或因病死亡的人群\(r(t)\)
\[s(t)+i(t)+r(t)=1 \]
\[\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=-\lambda si,\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\mu i \]
- SEIR模型：帶潛伏期的惡性傳染病，增加潛伏者\(e(t)\)，潛伏者患病率\(\theta\)
\[s(t)+e(t)+i(t)+r(t)=1 \]
\[\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=-\lambda si,\frac{\text{d}e}{\text{d}t}=\lambda si-\theta e,\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\theta e-\mu i,\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\mu i \]
其中涉及到的人群
- 易感者：Susceptible
- 潛伏者：Exposed
- 感染者：Infectives
- 抵抗者/移除者：Resistances/Removed
在數學上可以分為
- 常微分方程(Ordinary Differential Equation)
- 偏微分方程(Partial Differential Equation)
- 差分方程(Difference Equation)
《數學模型P183》：SI、SIS、SIR體現了建模過程的不斷深化.SI模型描述了傳染病的蔓延，但不符合實際；SIS和SIR模型則針對愈后是否免疫這兩種情況，描述了傳播過程，得到患者比例的變化規律.SIR模型特別值得注意，他是研究更復雜、也更實用的許多傳染病模型的基礎.
SEIR模型不是萬能的，會有很多特殊狀況, 一定程度內這些異類都可以被擾動因子\(\nu\)所包含,研究一個固定的模型加擾動比不斷地往模型里加擾動項好研究的多的多。
通過對 SEIR 模型的研究, 可以預測一個封閉地區疫情的爆發情況。但是顯然沒有任何地區是封閉的, 所以就要把各個地區看成圖的節點, 地區之間的流動可以由馬爾可夫轉移所刻畫, 對每個結點單獨跑 SEIR 模型.