matlab練習程序（傳染病模型）

最近新型冠狀病毒疫情越來越嚴重了，待在家中沒法出去，學習一下經典傳染病模型。

這里總結了五個模型，分別是SI模型，SIS模型，SIR模型，SIRS模型，SEIR模型。

這幾種模型的特點先介紹一下。

首先定義SEIR：

S為易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；

E為暴露者 (Exposed)，指接觸過感染者，但暫無能力傳染給其他人的人，對潛伏期長的傳染病適用；

I為感病者 (Infective)，指染上傳染病的人，可以傳播給 S 類成員，將其變為 E 類或 I 類成員；

R為康復者 (Recovered)，指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 類成員可以重新變為 S 類。

一、SI模型

該模型只考慮易感者和感病者，感病者不斷去感染易感者。

隨着時間推移，該模型感染者越來越多直到所有人都感染。

其微分方程為：

其中beta為感染率。

二、SIS模型 

該模型依然只考慮易感者和感病者，感病者不斷去感染易感者，這里感病者會得到治療恢復成易感者，不過恢復后依然可能得病。

隨着時間推移，該模型感染者和易感者會達到動態平衡。

其微分方程為：

其中beta為感染率，gamma為治愈率。

三、SIR模型

該模型考慮易感者、感病者與康復者，其中感病者不斷感染易感者，而感病者又不斷接受治療成為康復者，康復者因為得到抗體不會再成為易感者。

隨着時間推移，該模型康復者越來越多，最終所有人都成為康復者。

其微分方程為：

其中beta為感染率，gamma為治愈率。

四、SIRS模型

該模型考慮易感者、感病者與康復者，其中感病者不斷感染易感者，而感病者不斷接受治療成為康復者，康復者獲得抗體能夠抵抗一段時間，不過最終還是會成為易感者。

該模型和SIS模型很像，區別就是康復者能夠抵抗一段時間，也就是有一定的復感率，而SIS模型的復感率為1。

隨着時間推移，該模型同樣會達到一個動態平衡。

其微分方程為：

其中beta為感染率，gamma為治愈率，alpha為復感率。

五、SEIR模型

該模型四種參與者全部考慮，其中感病者不斷感染易感者，易感者得到病毒會成為潛伏者，潛伏者依然能夠使易感者感染，潛伏者有一定概率自己痊愈，感染者接受治療也能夠痊愈，痊愈后不再能夠感染該病。

隨着時間推移，該模型最終也是所有人都會成為康復者。

其微分方程為：

其中beta為感染率，gamma1為潛伏期康復率，gamma2為患者康復率，alpha為潛伏期轉陽率。

各模型matlab代碼如下，其中ode45為4階龍格庫塔法解微分方程，具體實現見上一篇文章：

main.m：

clear all;
close all;
clc;

%%SI模型
[t,h] = ode45(@SI,[0 120],0.01);    %0.01為初始感染人口占比
plot(t,h,'r');
hold on;
plot(t,1-h,'g');
legend('感染人口占比I','健康人口占比S');
title('SI模型')

%%SIS模型
figure;
[t,h] = ode45(@SIS,[0 120],0.01);   %0.01為初始感染人口占比
plot(t,h,'r');
hold on;
plot(t,1-h,'g');
legend('感染人口占比I','健康人口占比S');
title('SIS模型')

%%SIR模型
figure;
[t,h] = ode45(@SIR,[0 300],[0.01 0.99]);    %[初始感染人口占比 初始健康人口占比]
plot(t,h(:,1),'r',t,h(:,2),'b');
hold on;
plot(t,1-h(:,2),'g');
legend('感染人口占比I','健康人口占比S','治愈人口占比R');
title('SIR模型')

%%SIRS模型
figure;
[t,h] = ode45(@SIRS,[0 300],[0.01 0.99 0]); %[初始感染人口占比 初始健康人口占比 初始治愈人口占比]
plot(t,h(:,1),'r',t,h(:,2),'b');
hold on;
plot(t,h(:,3),'g');
legend('感染人口占比I','健康人口占比S','治愈人口占比R');
title('SIRS模型')

%%SEIR模型
figure;
[t,h] = ode45(@SEIR,[0 300],[0.01 0.98 0.01 0]);  %[初始感染人口占比 初始健康人口占比 初始潛伏人口占比 初始治愈人口占比]
plot(t,h(:,1),'r');
hold on;
plot(t,h(:,2),'b');
plot(t,h(:,3),'m');
plot(t,h(:,4),'g');
legend('感染人口占比I','健康人口占比S','潛伏人口占比E','治愈人口占比R');
title('SEIR模型')

SI.m：

function dy=SI(t,x)
beta = 0.1;    %感染率
dy=beta*x*(1-x);

SIS.m：

function dy=SIS(t,x)
beta = 0.1;    %感染率
gamma= 0.02;    %治愈率
dy=beta*x*(1-x)-gamma*x;

SIR.m：

function dy=SIR(t,x)
beta = 0.1;    %感染率
gamma = 0.02;    %治愈率
dy=[beta*x(1)*x(2)-gamma*x(1);
    -beta*x(1)*x(2)];

SIRS.m：

function dy=SIRS(t,x)
beta = 0.1;      %感染率
gamma = 0.02;    %治愈率
alpha = 0.01;    %治愈復感率
dy=[beta*x(1)*x(2)-gamma*x(1);
    -beta*x(1)*x(2)+alpha*x(3)
    gamma*x(1) - alpha*x(3)];

SEIR.m：

function dy=SEIR(t,x)
beta = 0.1;         %感染率
gamma1 = 0.05;      %潛伏期治愈率
gamma2 = 0.02;      %患者治愈率
alpha = 0.5;        %潛伏期轉陽率
dy=[alpha*x(3) - gamma2*x(1);
    -beta*x(1)*x(2);
    beta*x(1)*x(2) - (alpha+gamma1)*x(3);
    gamma1*x(3)+gamma2*x(1)];

模型結果如下：

SI模型：

SIS模型：

SIR模型：

SIRS模型：

SEIR模型：

如果已經有模型和數據，如何擬合出參數，可以參考這篇文章。

參考：

https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%A0%E6%9F%93%E7%97%85%E6%A8%A1%E5%9E%8B/5130035