【算法筆記】穩定婚姻匹配問題-GS算法

什么是穩定(婚姻)匹配問題

這里是百度百科。有N男N女，均為異性戀，每個人都對異性有好感度排序。如何將他們兩兩配對，才能盡可能使結果令每個人都滿意。

當然也有N男M女、多對一的情況，這里先不討論（網上有些大牛寫了論文）。

 

處理方案

被廣泛認可的算法是由美國數學家 David Gale 和 Lloyd Shapley 於1962年發明的 Gale-Shapley算法，簡稱GS算法。GS算法的思路如下：

先給N男N女從0~N-1分別編號，然后要求每個人寫出他們對異性的好感度排序。為了方便，這里N取4.比如0號男最喜歡3號女，其次是0號女，再次是1號女，最后是2號女，則0號男給出的排序為3 0 1 2.

下圖中展示了好感排序情況（隨機給出）：

第一輪，先讓每個男性向他們最喜歡的女性表白（也可以女性表白男性，同理）。例如0號男會先向3號女表白。如果一個女性同時收到了兩個表白，她會選擇接受自己最喜歡的那個男性。如3號女同時收到0號和2號的表白，接受0號。
第一次匹配結束后的情況：
0號男-3號女    1號男-0號女    3號男-1號女

第二輪，由於第一輪時只有2號男落單（慘），這次2號男選擇向自己第二喜歡的1號女表白。1號女接到表白后，會比較現任對象（3號男）和2號男，發現自己更喜歡2號男，於是與3號男分手，投入2號男的懷抱。
第二次匹配結束后的情況：
0號男-3號女    1號男-0號女    2號男-1號女

第三輪，3號男向自己第二喜歡的0號女表白，0號女比較現任配偶（1號男）和3號男，覺得自己還是更喜歡現任配偶，3號男被殘忍拒絕。這次匹配關系沒有發生變化。

第四輪，3號男向自己第三喜歡的2號女表白。2號女還沒有收到過表白，直接接受。
第四次匹配結束后的情況：
0號男-3號女    1號男-0號女    2號男-1號女    3號男-2號女

此時每個人都找到了配偶，匹配結束。

簡單總結一下，每一輪開始時：
①沒有配偶的男性選擇自己好感度最高而且沒表白過的女性表白。
②接到表白的女性比較現任配偶和新追求者的好感度，選擇與好感度更高的男性重新匹配。

 

GS算法的局限性

從算法過程容易看出，按照“男性表白女性”的策略對女性更有利，因為女性的配偶質量會不斷提升，而男性的配偶質量會不斷變差。相反則對男性有利。不同的表白策略得出的匹配結果很可能是不同的。

GS算法能否保證每個人都有對象

假設有一個男性A落單，由於男女人數相等，則必定還有一個女性B落單。
根據算法，B是被動接受表白，只要收到過一次表白，B就不可能落單。
而如果A沒有配偶，他會一直表白下去，將N個女性全部表白一遍。這個過程中B一定會收到表白，兩人匹配。

上述內容同時可以證明，該算法會在有限次運算后結束（運算次數小於n*n）。

GS算法的結果是否穩定

“穩定”是指：算法結束后，如果再進行一輪表白，一定不會出現男女雙方的選擇都更優的情況。
這一點容易證明。根據算法局限性，再進行表白，男性對新配偶的好感度只會下降。

假設男性A與女性B本應匹配（也就是說現在兩個人分別有自己的配偶，但是從好感度角度來說，他們都更希望彼此形成新的匹配），可以分兩種情況討論：
1.男性A曾對女性B表白，但此時兩人沒有匹配，說明女性B后來遇到了好感度更高的男性，假設不成立。
2.男性A不曾對女性B表白，說明男性A的配偶好感度排在女性B前面，假設不成立。

 

代碼實現

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<string>
    using namespace std;
    const int MAXN = 0 + 5;
    int Num,nowMatch;
    int Match_A[MAXN], Match_B[MAXN], Preference_A[MAXN][MAXN], Preference_B[MAXN][MAXN], Now[MAXN];
    //Match數組記錄匹配情況，Preference[i][1..n]記錄好感排序
    inline void init()
    {//讀入、預處理
      scanf("%d", &Num);
      for (int i = 0; i < Num; ++i)
        for (int j = 0; j < Num; ++j)
          scanf("%d", &Preference_A[i][j]);
      for (int i = 0; i < Num; ++i)
        for (int j = 0; j < Num; ++j)
          scanf("%d", &Preference_B[i][j]);
      for (int i = 0; i < Num; ++i)
        Match_A[i] = -1, Match_B[i] = -1;
    }
    bool Compare(int a, int b, int Obj)
    {//比較追求當前的B[i]的兩個人在B[i]處的好感排序
      int index_a = -1, index_b = -1;
      for (int i = 0; i < Num; ++i)
      {
        if (Preference_B[Obj][i] == a)
          index_a = i;
        else if (Preference_B[Obj][i] == b)
          index_b = i;
      }
      if (index_a < index_b) return true;
      return false;
    }
    bool AllMatch()
    {//判斷是否完成匹配
      int count = 0;
      for (int i = 0; i < Num; ++i)
        if (Match_A[i] != -1)
          count++;
      if (count < Num) return false;
      return true;
    }
    void Gale_Shapley()
    {
      while (! AllMatch())
      {//算法會在所有人完成匹配后終止
        for (int i = 0; i < Num; i ++)
        {
          if (Match_A[i] != -1) continue;
          nowMatch = Match_B[Preference_A[i][Now[i]]];
          //nowMatch是A[i]想要表白的B[i]目前的對象，沒有則為-1
          if (nowMatch == -1 || Compare(i, nowMatch, Preference_A[i][Now[i]]))
          {//如果B[i]沒有對象，或者B[i]對A[i]更有好感，則A[i]和B[i]匹配
            Match_A[i] = Preference_A[i][Now[i]];
            Match_A[nowMatch] = -1;
            Match_B[Preference_A[i][Now[i]]] = i;
          }
          Now[i] ++;
        }
      }
    }
    inline void Output()
    {
      for (int i = 0; i < Num; ++i)
      {
        printf("A-%d is matched to B-%d\n", i, Match_A[i]);
      }
    }
    int main()
    {
      init();
      Gale_Shapley();
      Output();
      return 0;
    }

 

測試一下最初給的那組數據

 

應用

雖然算法解決的問題是“穩定婚姻匹配”，但是真的按照這個算法來選對象豈不太簡單粗暴了…不過這好歹還是對象包分配
GS算法可以用於解決工作崗位的分配問題，例如某公司有n個崗位，m(m>=n)人競爭，可以根據公司和應聘者對彼此的好感度排序，利用算法算出最合適的人選。

 

漫談

如果把上文中的人視為點，好感關系視為線，就構成了一個二分圖匹配問題。問題就可以轉化為：根據已有的好感度排序，如何連線才能使得左右兩側的點一一相連，且連線結果盡量令人滿意。

匹配成功后的結果如圖所示，是一個一一映射：

如果把這個問題削弱一下，條件可以改為：每個人都對M(M<=N)名異性有好感，這種好感不分大小。如何使盡量多對互有好感的人相匹配。這個問題稱作二分圖最大匹配問題，可以用匈牙利算法求解。