問題背景：
n個男生和m個女生進行匹配約會，當然一個男生至多和一個女生約會，一個女生也至多和一個男生約會，並且每個男生心中都有一個對女生的排名表，即表示了這個男生更願意與哪個女生約會，不同男生的排名表不一定相同，每個女生也都有一個對男生的排名表。現在要求你求一個匹配，這個匹配不含 不穩定因素。
不穩定因素：一個男生A，一個女生B，A與A‘匹配，B與B’匹配，但A更願意與B匹配，B也更願意與A匹配，具有這種性質的（A，B）就被稱為不穩定因素。
數學模型：
兩個點集：M,W,M={m1,m2,m3……，mn},W={w1,w2,w3……，wm},M和W的交集為空集，記M*W為M與的笛卡爾積，也就是所有（m,w）形成的二元有序對所構成的集合。匹配S為M*W的子集，且滿足每個M的元素和每個W的元素至多出現在S的一個有序對中。
每個m對所有的w都有一個排名，每個w也對所有的m有一個排名。
穩定匹配是不包含不穩定因素的匹配。
不穩定因素：是一個有序對（m,w'），且（m,w）,(m',w')屬於匹配S，但m對w'的排隊（m所認為的w'的排名）高於m對w的排名，且w對m的排名高於m對w'的排名，這樣（m,w'）就是一個不穩定因素。
穩定匹配集求解算法：Gale-Shapley算法
初始，所有人都是自由的，稱所有人的狀態為自由。一個男生m向他的排名表上排名最高的女生w發起邀請，待所有男生都發送完邀請后，女生開始篩選邀請，即挑選她認為的排名最高的男生，二人的狀變為約會。
然后那些仍處於自由狀態的男生，按照他的排名表 順序 邀請下一個人（也就是說，如果一個男生上一次邀請了排名為i的女生，這次他將邀請排名為i+1的女生），不管他所邀請的人是否處於約會狀態。待所有自由狀態的男生發送完邀請后，女生再次篩選邀請。重復此過程，直至所有男生都不再發送邀請，這時所得的匹配即為穩定匹配。
算法的有窮性：
因為一個男生不會邀請同一個女生兩次，邀請次數最多為N*M時算法一定結束。
另一種思路：讓人數少的集合表示男生，人數多的集合表示女生，即N<=M;假設存在一個男生邀請了M次后仍然沒有匹配結果，那么此時M個女生都已經匹配（否則這個男生會被沒有匹配結果的女生所接受），又每個女生的匹配對象不相同，男生中至少有一個人沒有匹配對象，所以M<N，與假設相悖,所以假設錯誤，所有的男生都已經匹配。
正確性證明：反證法
假定結束時仍存在不穩定因素（m,w'），此時m與w匹配，m'與w'匹配。分兩種情況考慮：
第一：m在邀請w之前邀請過w'，但w'的最終匹配對象變成了m'，這就說明了w'認為m'更加優秀，與我們的假設相悖。
第二：m沒有邀請過w'，也就直接說明了m認為w'更加優秀，與我們的假設相悖。
所以，假設錯誤，不存在不穩定因素。
結果的唯一性：
在選定了發起邀請的集合后，算法執行的結果是一定的。
定義匹配狀態：執行完某輪邀請篩選后男女生的匹配狀況。
證明：
狀態轉移的唯一性。開始所有人都處於自由狀態，匹配狀態唯一。進行第一輪，每個男生所邀請的對象都是確定的（他們排名表上的第一名），所以每個女生所接受到的邀請都是一定的，那么她們所接受的邀請也是一定的（她們排名表上靠前的那個）。所以進行完第一輪后匹配狀態是一定的，然后第二輪中發送邀請的男生確定（仍處於自由狀態的男生），他們邀請的對象確定（排名表上的下一名），因而第二輪結束后匹配狀態也一定。重復下去，結束時匹配結果就是確定的。因而該算法執行結果唯一（前提：選定了發出邀請的一方）。
G-S性質：發起邀請的一方在算法執行過程中其匹配對象越變越差，接受邀請的一方在匹配過程中其匹配對象越變越好。
注意：穩定匹配存在多種，G-S算法求出的只是其中一種。但G-S算法所求出的匹配對發出邀請方最為有利，對邀請接受方最為不利。
定義：
有效伴侶：若存在一個穩定匹配使得m是w的匹配對象，則稱m是w的有效伴侶。
最佳有效伴侶：在m的所有有效伴侶中m最滿意的伴侶w為最佳有效伴侶，記作best(m)=w；
證明：G-S算法所求出的匹配中，邀請發出方中每個人都與其最佳有效伴侶相匹配。
假設G-S算法執行結束后存在男生沒有和最佳有效伴侶組合，這樣的男生叫做倒霉男，倒霉男都被自己的最佳有效伴侶拒絕過，取其中第一個被最佳有效伴侶拒絕的人，記為m，其最佳有效伴侶為w。記M被W拒絕時M的匹配對象為w’。（1、M邀請W時，W因為M‘拒絕M；2、M’邀請W導致M被拒）
又w是m的最佳有效伴侶，所以存在一個穩定匹配S’，m和w組合，假設在這個匹配中m'和w'組合，所以w'也是m'的有效伴侶。
第一種情況：對m'來說w'優於w，那么在S中，在m被w拒絕前，m'被w'拒絕，這也就說明了m'早於m被有效伴侶拒絕，那么m'一定更早的被最佳有效伴侶拒絕了，這與m是第一個被最佳有效伴侶拒絕的相矛盾。
第二種情況：對m'來說w由於w'，那么在S‘中，m',w形成不穩定因素，這與S’是一個穩定匹配矛盾。
綜合這這兩種情況，G-S算法中不存在倒霉男。
擴展：該算法在一對多的時候也適用，即X部可以匹配多個或者Y部可以匹配多個,但當X部和Y部同時可以匹配多個點的時候不適用。
假設Y部點可以匹配多個點。則以X部點作為發出邀請方，Y部點在接收邀請時，檢測是否能優化自身目前的選擇，（優化：將一個好感度比當前邀請低的舍棄，使得整體的好感度上升）。
資料：http://www.icourses.cn/web/sword/portal/shareDetails?cId=3271#/course/chapter 第四章 時間：39：30 PS：這個老師講的更加通俗易懂
比較詳細的PPT：https://www.docin.com/p-2042973211.html 大力推薦！！！！！！
