GS穩定匹配算法算法

     聽班助在課上給我們講的一個算法，挺有趣的，一開始不是很理解，在網上看了一些資料后，就差不多了，做個筆記，記錄下來吧，這也是我第一次寫算法的博客筆記。

 

GS算法簡介：

     算法是為了解決“穩定匹配難題（Stable Matching Problem）”而提出的，所謂穩定匹配難題，是指： 有n個男人，還有n個女人，男人心目中有自己的心上人列表，從最喜歡的女神一直排列下去，而女人心中也有相同的列表。很明顯的，某男喜歡的女人，她可能根本看不上他。而多個女人喜歡的男人，也不可能同時娶這些女人。所以要找出一個讓所有人都能結婚，且大家都滿意的方案是很難的。

    1962 年，美國數學家 David Gale 和 Lloyd Shapley 發明了一種尋找穩定婚姻的策略。不管男女各有多少人，不管他們各自的偏好如何，應用這種策略后總能得到一個穩定的婚姻搭配。這一個算法在2012年獲得了諾貝爾經濟學獎。（參考http://zhidao.baidu.com/question/494779153.html）

算法的步驟是：

第一步，是由男人們一輪一輪的去找他最喜歡的女人表白，女人可以選擇接受，也可以選擇拒絕。 此時女人會遇到三種情況，第一是沒人來表白；第二是有一個人來表白；第三是有多個人來表白。女人的策略是，如果沒人來表白就再等一輪，如果有一個人來表白就暫時同他交往着，如果有多個人來表白，就同最喜歡的那個交往。一輪過后，有些男人有女友了，有些還打着光棍。

 

第二步，那些光棍們重復上一輪的行為，從還沒被拒絕的女生中，找自己最心儀的女人表白。女人會遇到一個特殊情況，自己有男友了，但是又有一個男人來表白。如果新來的男人比現在的差，她就忽略，如果比現在的好，那就劈腿換新人。

 

第三步再重復第二步的行為。如此循環往復，一直到最后每個人都成功匹配為止。Shapley和Gale兩人從數學上證明了，這種策略的結果是最穩固的。

證明：

穩定匹配要證明兩個問題，一個穩定的匹配也必須滿足下面的條件：

①匹配是完美的。即每個男人都會找到自己最終的女神，每個女人都會找到自己的男人，不存在有人是單身。

②不包含不穩定因素。

（不穩定因素：有兩對夫妻（M1 F2），（M2 F1）。M1心目中更喜歡F1，但是他和F2結婚了，M2心目中更喜歡F2，但是命運卻讓他和F1結婚了，顯然這樣的婚姻是不穩定的，隨時都可能發生M1和F1私奔或者M2和F2私奔的情況。所以在做出匹配選擇的時候（也就是結婚的時候），我們需要做出穩定的選擇，以防這種情況的發生。）

證明問題①（用反證法）：隨着輪數的增加，總有一個時候所有人都能配上對。因為男生根據自己心目中的排名依次對女士進行表白，假如有一個人沒有配上對，那么這個人必定是向所有的女孩進行表白了。但是女孩只要被表白過一次，女孩就不可能是單身，也就是說此時所有的女生都不是單身的，這與有一個人沒有配上對是相悖的，男孩女孩人數相等。所以假設不成立。該算法一定會使得所有人都能夠配對成功，即為完美匹配。 

證明問題②（也是反證法）：隨着輪數的增加，男士追求的對象越來越糟，而女士的男友則可能變得越來越好。假設男A和女1各有各自的對象，但是比起現在的對象，男A更喜歡女1，所以，在此之前男A肯定已經跟女1表白過的，並且女1拒絕了男A，也就是女1有了比男A更好的男友，不會出現私奔的情況，這樣就不會包含穩定因素。

由①②證明了這個的算法的正確性（參考http://blog.csdn.net/cscmaker/article/details/8291131）

該算法的偽代碼

while  存在男人m是自由的且還沒對每個女人都求過婚
      選擇這個男人m
                令w是m的優先表中還沒求過婚的最高排名的女人
        if  w是自由的
            （m，w）變成約會狀態
        else  w當前與m1約會
              if  w更偏愛m1而不愛m
                    m保持自由
              else    w更偏愛m而不愛m1
                   （m，w）變成約會狀態
                    m1變成自由
              endif
                  endif endwhile

借鑒大神的代碼

#include<iostream>
#include <stack>

using namespace std;

#define NUM 4
#define NIL -1

int GetPositionFromLaday(int ladayArray[][NUM], int laday, int man)
{
    for(int i=0; i<NUM; i++)
        if(ladayArray[laday][i] == man)
            return i;
    return NIL;
}

void ChoosePartener(stack<int>& manStack, int manPos, int manArray[][NUM], int ladayArray[][NUM], int manPerfer[], int manStartPos[], int ladayNow[])
{
    //選擇自己名單上排在首位的女人
        int perferLaday = manArray[manPos][manStartPos[manPos]];
        //如果該女孩沒有接受過表白，則接受該男孩的表白
        if(ladayNow[perferLaday] == NIL)
        {
            ladayNow[perferLaday] = manPos;
            manPerfer[manPos] = perferLaday;
        }
        //如果已經有人向她表白，則判斷其現在擁有的有沒有現在追求的好
        else
        {
            int oldPos = GetPositionFromLaday(ladayArray, perferLaday, ladayNow[perferLaday]);
            int newPos = GetPositionFromLaday(ladayArray, perferLaday, manPos); 
            if(oldPos < newPos)
            {
                manStartPos[manPos]++;//說明該女生更喜歡現在擁有的，選心目中第二位
                //加入單身行列
                manStack.push(manPos);
            }
            else //換男友
            {
                //被甩的男友恢復自由身份
                manStartPos[ladayNow[perferLaday]]++;
                //加入單身行列
                manStack.push(ladayNow[perferLaday]);
                //將追求的男士改為現任男友
                ladayNow[perferLaday] = manPos;
                manPerfer[manPos] = perferLaday;
            }
        }
}

int main()
{
    int manArray[NUM][NUM] ={{2,3,1,0},{2,1,3,0},{0,2,3,1},{1,3,2,0}};    
    int ladayArray[NUM][NUM] = {{0,3,2,1},{0,1,2,3},{0,2,3,1},{1,0,3,2}};

    int manPerfer[NUM] = {0};//每位男生選中的女生
    int manStartPos[NUM] = {0};//記錄每位男生選取的是心目中第幾位的女生
    int ladayNow[NUM] = {NIL,NIL,NIL,NIL};//女生對應的男生

    stack<int> manStack; // 還處於單身的男士

    //進行第一輪迭代，每個男生都選擇自己名單上排在首位的女生。
    for(int pos=0; pos<NUM; pos++)
    {
        ChoosePartener(manStack, pos, manArray, ladayArray, manPerfer, manStartPos,ladayNow);
    }

    while(manStack.size()!=0)
    {
        int manPos = manStack.top();
        manStack.pop();
        ChoosePartener(manStack, manPos, manArray, ladayArray, manPerfer, manStartPos,ladayNow);
    }

    for(int i =0;i<NUM; ++i)
        cout<<"Man NO.: "<<i<<" Laday NO.: "<<manPerfer[i]<<endl;
}