GS稳定匹配算法算法

     听班助在课上给我们讲的一个算法，挺有趣的，一开始不是很理解，在网上看了一些资料后，就差不多了，做个笔记，记录下来吧，这也是我第一次写算法的博客笔记。

 

GS算法简介：

     算法是为了解决“稳定匹配难题（Stable Matching Problem）”而提出的，所谓稳定匹配难题，是指： 有n个男人，还有n个女人，男人心目中有自己的心上人列表，从最喜欢的女神一直排列下去，而女人心中也有相同的列表。很明显的，某男喜欢的女人，她可能根本看不上他。而多个女人喜欢的男人，也不可能同时娶这些女人。所以要找出一个让所有人都能结婚，且大家都满意的方案是很难的。

    1962 年，美国数学家 David Gale 和 Lloyd Shapley 发明了一种寻找稳定婚姻的策略。不管男女各有多少人，不管他们各自的偏好如何，应用这种策略后总能得到一个稳定的婚姻搭配。这一个算法在2012年获得了诺贝尔经济学奖。（参考http://zhidao.baidu.com/question/494779153.html）

算法的步骤是：

第一步，是由男人们一轮一轮的去找他最喜欢的女人表白，女人可以选择接受，也可以选择拒绝。 此时女人会遇到三种情况，第一是没人来表白；第二是有一个人来表白；第三是有多个人来表白。女人的策略是，如果没人来表白就再等一轮，如果有一个人来表白就暂时同他交往着，如果有多个人来表白，就同最喜欢的那个交往。一轮过后，有些男人有女友了，有些还打着光棍。

 

第二步，那些光棍们重复上一轮的行为，从还没被拒绝的女生中，找自己最心仪的女人表白。女人会遇到一个特殊情况，自己有男友了，但是又有一个男人来表白。如果新来的男人比现在的差，她就忽略，如果比现在的好，那就劈腿换新人。

 

第三步再重复第二步的行为。如此循环往复，一直到最后每个人都成功匹配为止。Shapley和Gale两人从数学上证明了，这种策略的结果是最稳固的。

证明：

稳定匹配要证明两个问题，一个稳定的匹配也必须满足下面的条件：

①匹配是完美的。即每个男人都会找到自己最终的女神，每个女人都会找到自己的男人，不存在有人是单身。

②不包含不稳定因素。

（不稳定因素：有两对夫妻（M1 F2），（M2 F1）。M1心目中更喜欢F1，但是他和F2结婚了，M2心目中更喜欢F2，但是命运却让他和F1结婚了，显然这样的婚姻是不稳定的，随时都可能发生M1和F1私奔或者M2和F2私奔的情况。所以在做出匹配选择的时候（也就是结婚的时候），我们需要做出稳定的选择，以防这种情况的发生。）

证明问题①（用反证法）：随着轮数的增加，总有一个时候所有人都能配上对。因为男生根据自己心目中的排名依次对女士进行表白，假如有一个人没有配上对，那么这个人必定是向所有的女孩进行表白了。但是女孩只要被表白过一次，女孩就不可能是单身，也就是说此时所有的女生都不是单身的，这与有一个人没有配上对是相悖的，男孩女孩人数相等。所以假设不成立。该算法一定会使得所有人都能够配对成功，即为完美匹配。 

证明问题②（也是反证法）：随着轮数的增加，男士追求的对象越来越糟，而女士的男友则可能变得越来越好。假设男A和女1各有各自的对象，但是比起现在的对象，男A更喜欢女1，所以，在此之前男A肯定已经跟女1表白过的，并且女1拒绝了男A，也就是女1有了比男A更好的男友，不会出现私奔的情况，这样就不会包含稳定因素。

由①②证明了这个的算法的正确性（参考http://blog.csdn.net/cscmaker/article/details/8291131）

该算法的伪代码

while  存在男人m是自由的且还没对每个女人都求过婚
      选择这个男人m
                令w是m的优先表中还没求过婚的最高排名的女人
        if  w是自由的
            （m，w）变成约会状态
        else  w当前与m1约会
              if  w更偏爱m1而不爱m
                    m保持自由
              else    w更偏爱m而不爱m1
                   （m，w）变成约会状态
                    m1变成自由
              endif
                  endif endwhile

借鉴大神的代码

#include<iostream>
#include <stack>

using namespace std;

#define NUM 4
#define NIL -1

int GetPositionFromLaday(int ladayArray[][NUM], int laday, int man)
{
    for(int i=0; i<NUM; i++)
        if(ladayArray[laday][i] == man)
            return i;
    return NIL;
}

void ChoosePartener(stack<int>& manStack, int manPos, int manArray[][NUM], int ladayArray[][NUM], int manPerfer[], int manStartPos[], int ladayNow[])
{
    //选择自己名单上排在首位的女人
        int perferLaday = manArray[manPos][manStartPos[manPos]];
        //如果该女孩没有接受过表白，则接受该男孩的表白
        if(ladayNow[perferLaday] == NIL)
        {
            ladayNow[perferLaday] = manPos;
            manPerfer[manPos] = perferLaday;
        }
        //如果已经有人向她表白，则判断其现在拥有的有没有现在追求的好
        else
        {
            int oldPos = GetPositionFromLaday(ladayArray, perferLaday, ladayNow[perferLaday]);
            int newPos = GetPositionFromLaday(ladayArray, perferLaday, manPos); 
            if(oldPos < newPos)
            {
                manStartPos[manPos]++;//说明该女生更喜欢现在拥有的，选心目中第二位
                //加入单身行列
                manStack.push(manPos);
            }
            else //换男友
            {
                //被甩的男友恢复自由身份
                manStartPos[ladayNow[perferLaday]]++;
                //加入单身行列
                manStack.push(ladayNow[perferLaday]);
                //将追求的男士改为现任男友
                ladayNow[perferLaday] = manPos;
                manPerfer[manPos] = perferLaday;
            }
        }
}

int main()
{
    int manArray[NUM][NUM] ={{2,3,1,0},{2,1,3,0},{0,2,3,1},{1,3,2,0}};    
    int ladayArray[NUM][NUM] = {{0,3,2,1},{0,1,2,3},{0,2,3,1},{1,0,3,2}};

    int manPerfer[NUM] = {0};//每位男生选中的女生
    int manStartPos[NUM] = {0};//记录每位男生选取的是心目中第几位的女生
    int ladayNow[NUM] = {NIL,NIL,NIL,NIL};//女生对应的男生

    stack<int> manStack; // 还处于单身的男士

    //进行第一轮迭代，每个男生都选择自己名单上排在首位的女生。
    for(int pos=0; pos<NUM; pos++)
    {
        ChoosePartener(manStack, pos, manArray, ladayArray, manPerfer, manStartPos,ladayNow);
    }

    while(manStack.size()!=0)
    {
        int manPos = manStack.top();
        manStack.pop();
        ChoosePartener(manStack, manPos, manArray, ladayArray, manPerfer, manStartPos,ladayNow);
    }

    for(int i =0;i<NUM; ++i)
        cout<<"Man NO.: "<<i<<" Laday NO.: "<<manPerfer[i]<<endl;
}