1.直接法的引出
特征點估計相機運動的方法，主要是在關鍵點和描述子的計算非常耗時；而且在紋理信息比較少的情況下，特征點的數量會明顯減少。
解決方案：
1.保留特征點，只計算關鍵點，不計算描述子，然后使用光流法跟蹤特征點的運動，從而實現特征點的匹配。
2.只計算關鍵點，不計算描述子。使用直接法計算下一時刻特征點的位置，從而實現特征點的匹配。
第一種方法，是把特征點匹配換成光流法，估計相機運動時仍然采用對極幾何、PnP或ICP算法。仍然需要計算角點。
第二種方法，是通過像素的灰度信息，同時估計相機運動和點的投影，不要求提取到的點必須為角點，甚至可以是隨機的選點。
2.LK光流法
光流法基於灰度不變強假設。
對於t時刻位於(x,y)處的像素，設t+dt時刻它運動到了(x+dx,y+dy)處，由於灰度不變，所以有：I(x,y,t) = I(x+dx,y+dy,t+dt).
將右邊進行泰勒展開，保留一階項：
\(I(x+dx,y+dy,t+dt) \approx I(x,y,t)+ \frac{\partial I}{\partial x}dx + \frac{\partial I}{\partial y}dy + \frac{\partial I}{\partial t}dt\)
由於I(x,y,t) = I(x+dx,y+dy,t+dt)，所以：\(\frac{\partial I}{\partial x}dx + \frac{\partial I}{\partial y}dy + \frac{\partial I}{\partial t}dt = 0\)
兩邊除dt，得：
\(\frac{\partial I}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial I}{\partial y} \frac{dy}{dt} =- \frac{\partial I}{\partial t}\)
其中dx/dt為像素在x軸上的運動速度，dy/dt為y軸上的速度，記為u,v。同時\(\frac{\partial I}{\partial x}\)為該點在x方向的梯度，另一項為y方向的梯度，記為\(I_{x}\),\(I_{y}\),寫成矩陣形式為：
我們計算的是u、v，所以一個點無法計算，故假設該點附近的一個窗口內的像素都具有相同的運動。
考慮一個大小為w*w的窗口,共有\(w^{2}\)數量的像素，有\(w^{2}\)個方程：
這是一個關於u,v的超定方程，傳統解法是求最小二乘解
這樣就得到像素在圖像間的運動速度u,v。由於像素梯度僅在局部有效，如果一次迭代不夠好，可以多迭代幾次這個方程。
圖像梯度：
圖像梯度一般也可以用中值差分：
dx(i,j) = [I(i+1,j) - I(i-1,j)]/2;
dy(i,j) = [I(i,j+1) - I(i,j-1)]/2;
LK光流程序：
vector<KeyPoint> kp1;
//通過GFTT來獲取角點
Ptr<GFTTDetector> detector = GFTTDetector::create(500, 0.01, 20); // maximum 500 keypoints
detector->detect(img1, kp1);
vector<Point2f> pt1, pt2;
for (auto &kp: kp1) pt1.push_back(kp.pt);
vector<uchar> status;
vector<float> error;
//直接調用LK光流函數
cv::calcOpticalFlowPyrLK(img1, img2, pt1, pt2, status, error);
3.高斯牛頓法實現光流
該問題可以看成一個優化問題：通過最小化灰度誤差來估計最優的像素偏差。
相關代碼：
GetPixelValue:采用雙線性內插法，來估計一個點的像素：
公式為：
inline float GetPixelValue(const cv::Mat &img, float x, float y) {
// boundary check
if (x < 0) x = 0;
if (y < 0) y = 0;
if (x >= img.cols) x = img.cols - 1;
if (y >= img.rows) y = img.rows - 1;
uchar *data = &img.data[int(y) * img.step + int(x)];
float xx = x - floor(x);
float yy = y - floor(y);
return float(
(1 - xx) * (1 - yy) * data[0] +
xx * (1 - yy) * data[1] +
(1 - xx) * yy * data[img.step] +
xx * yy * data[img.step + 1]
);
}
class OpticalFlowTracker {
public:
OpticalFlowTracker(
const Mat &img1_,
const Mat &img2_,
const vector<KeyPoint> &kp1_,
vector<KeyPoint> &kp2_,
vector<bool> &success_,
bool inverse_ = true, bool has_initial_ = false) :
img1(img1_), img2(img2_), kp1(kp1_), kp2(kp2_), success(success_), inverse(inverse_),
has_initial(has_initial_) {}
void calculateOpticalFlow(const Range &range);
private:
const Mat &img1;
const Mat &img2;
const vector<KeyPoint> &kp1;
vector<KeyPoint> &kp2;
vector<bool> &success;
bool inverse = true;
bool has_initial = false;
};
void OpticalFlowSingleLevel(
const Mat &img1,
const Mat &img2,
const vector<KeyPoint> &kp1,
vector<KeyPoint> &kp2,
vector<bool> &success,
bool inverse, bool has_initial) {
kp2.resize(kp1.size());
success.resize(kp1.size());
OpticalFlowTracker tracker(img1, img2, kp1, kp2, success, inverse, has_initial);
//通過cv::parallel_for_並行調用了calculateOpticalFlow函數，循環次數為kp1.size()，傳入了tracker數據。
parallel_for_(Range(0, kp1.size()),
std::bind(&OpticalFlowTracker::calculateOpticalFlow, &tracker, placeholders::_1));
}
void OpticalFlowTracker::calculateOpticalFlow(const Range &range) {
// parameters
int half_patch_size = 4; //窗口的大小為8*8
int iterations = 10; //每一個角點迭代10次
//總共的循環次數為 kp1.size()
for (size_t i = range.start; i < range.end; i++) {
auto kp = kp1[i];
double dx = 0, dy = 0; // dx,dy need to be estimated
if (has_initial) {
dx = kp2[i].pt.x - kp.pt.x;
dy = kp2[i].pt.y - kp.pt.y;
}
double cost = 0, lastCost = 0;
bool succ = true; // indicate if this point succeeded
// Gauss-Newton iterations
Eigen::Matrix2d H = Eigen::Matrix2d::Zero(); // hessian
Eigen::Vector2d b = Eigen::Vector2d::Zero(); // bias
Eigen::Vector2d J; // jacobian
for (int iter = 0; iter < iterations; iter++) {
if (inverse == false) {
H = Eigen::Matrix2d::Zero();
b = Eigen::Vector2d::Zero();
} else { //反向光流，H矩陣不變，只計算一次，每次迭代計算殘差b
// only reset b
b = Eigen::Vector2d::Zero();
}
cost = 0;
// compute cost and jacobian
//對窗口的所有像素進行計算
for (int x = -half_patch_size; x < half_patch_size; x++)
for (int y = -half_patch_size; y < half_patch_size; y++) {
//計算誤差
double error = GetPixelValue(img1, kp.pt.x + x, kp.pt.y + y) -
GetPixelValue(img2, kp.pt.x + x + dx, kp.pt.y + y + dy);;
if (inverse == false) { //雅可比矩陣，為第二個圖像在x+dx,y+dy處的梯度。梯度上面已講
J = -1.0 * Eigen::Vector2d(
0.5 * (GetPixelValue(img2, kp.pt.x + dx + x + 1, kp.pt.y + dy + y) -
GetPixelValue(img2, kp.pt.x + dx + x - 1, kp.pt.y + dy + y)),
0.5 * (GetPixelValue(img2, kp.pt.x + dx + x, kp.pt.y + dy + y + 1) -
GetPixelValue(img2, kp.pt.x + dx + x, kp.pt.y + dy + y - 1))
);
} else if (iter == 0) { //反向光流，計算第一張圖像的雅可比矩陣，10次迭代只計算一次
// in inverse mode, J keeps same for all iterations
// NOTE this J does not change when dx, dy is updated, so we can store it and only compute error
J = -1.0 * Eigen::Vector2d(
0.5 * (GetPixelValue(img1, kp.pt.x + x + 1, kp.pt.y + y) -
GetPixelValue(img1, kp.pt.x + x - 1, kp.pt.y + y)),
0.5 * (GetPixelValue(img1, kp.pt.x + x, kp.pt.y + y + 1) -
GetPixelValue(img1, kp.pt.x + x, kp.pt.y + y - 1))
);
}
// compute H, b and set cost;
b += -error * J;
cost += error * error;
if (inverse == false || iter == 0) {
// also update H
H += J * J.transpose();
}
}
// compute update
Eigen::Vector2d update = H.ldlt().solve(b); //求解方程u，v
if (std::isnan(update[0])) { //解失敗
// sometimes occurred when we have a black or white patch and H is irreversible
cout << "update is nan" << endl;
succ = false;
break;
}
if (iter > 0 && cost > lastCost) { //找到最小
break;
}
// 更新 dx, dy
dx += update[0];
dy += update[1];
lastCost = cost;
succ = true;
if (update.norm() < 1e-2) { //更新值范數已較小，直接退出
// converge
break;
}
}
success[i] = succ;
// kp2，找到了kp2和kp1的匹配點坐標
kp2[i].pt = kp.pt + Point2f(dx, dy);
}
}
4.多層光流
上面光流只計算了單層光流，當相機運動較快的時候，單層光流容易達到一個局部極小值，這時可以引入圖像金字塔來進行優化。
圖像金字塔就是對同一個圖像進行縮放，得到不同分辨率下的圖像，以原始圖像作為金字塔的底層，沒向上一層，就進行一定倍率的縮放。
計算金字塔光流時，先從頂層的圖像開始計算，然后把上一層的追蹤結果，作為下一層光流的初始值。這個過程稱為由粗至精光流。
由粗至精的好處是，當原始圖像運動較大的時候，在上幾層的圖像優化值里，像素運動會比較小，就避免了陷入局部極小值。
void OpticalFlowMultiLevel(
const Mat &img1,
const Mat &img2,
const vector<KeyPoint> &kp1,
vector<KeyPoint> &kp2,
vector<bool> &success,
bool inverse) {
// parameters
int pyramids = 4; //4層金字塔
double pyramid_scale = 0.5;
double scales[] = {1.0, 0.5, 0.25, 0.125};
// 創建4層金字塔，圖1，圖2，每層縮小0.5
chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
vector<Mat> pyr1, pyr2; // image pyramids
for (int i = 0; i < pyramids; i++) {
if (i == 0) {
pyr1.push_back(img1);
pyr2.push_back(img2);
} else {
Mat img1_pyr, img2_pyr;
//進行縮放 參數：原圖，輸出圖像，輸出圖像的大小
//dsize = Size(round(fxsrc.cols), round(fysrc.rows))
cv::resize(pyr1[i - 1], img1_pyr,
cv::Size(pyr1[i - 1].cols * pyramid_scale, pyr1[i - 1].rows * pyramid_scale));
cv::resize(pyr2[i - 1], img2_pyr,
cv::Size(pyr2[i - 1].cols * pyramid_scale, pyr2[i - 1].rows * pyramid_scale));
pyr1.push_back(img1_pyr);
pyr2.push_back(img2_pyr);
}
}
chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
auto time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);
cout << "build pyramid time: " << time_used.count() << endl;
// coarse-to-fine LK tracking in pyramids
vector<KeyPoint> kp1_pyr, kp2_pyr;
//最上層kp1的特征點處理 縮小 0.5*0.5*0.5
for (auto &kp:kp1) {
auto kp_top = kp;
kp_top.pt *= scales[pyramids - 1];
kp1_pyr.push_back(kp_top);
kp2_pyr.push_back(kp_top);
}
for (int level = pyramids - 1; level >= 0; level--) {
// from coarse to fine
success.clear();
t1 = chrono::steady_clock::now();
OpticalFlowSingleLevel(pyr1[level], pyr2[level], kp1_pyr, kp2_pyr, success, inverse, true);
t2 = chrono::steady_clock::now();
auto time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);
cout << "track pyr " << level << " cost time: " << time_used.count() << endl;
if (level > 0) {
for (auto &kp: kp1_pyr)
kp.pt /= pyramid_scale;
for (auto &kp: kp2_pyr)
kp.pt /= pyramid_scale;
}
}
for (auto &kp: kp2_pyr)
kp2.push_back(kp);
}
完整代碼：