習題解答——姜啟源《數學模型》

目錄

• 1 建立數學模型
  • 1.3 包餃子
• 2 初等模型
  • 2.2 滑艇比賽的成績
    • 復習題
      • 考慮艇重
      • 不考慮艇重
  • 2.5 估計出租車的總數
    • 復習題1
  • 2.8 核軍備競賽
    • 復習題1
      • 性質一：
      • 性質二：
      • 性質三：
  • 第 2 章訓練題
    • 問題分析
    • 模型假設
    • 模型建立與參數確定
    • 模型解釋

1 建立數學模型

1.3 包餃子

• 復習題二

  • 假設餃子越大面皮越厚，並且成正比例關系，即

    \[\begin{align*} SH &= n(sh) \\ H &= a h \end{align*} \]

    由此可以得到大餃子和小餃子的面皮面積滿足

    \[S = \frac{n}{a}s \]

    根據教材中的中間結論

    \[\begin{align*} V &= kS^{\frac{3}{2}},& v =ks^{\frac{3}{2}} \end{align*} \]

    可以得到餃子餡體積的關系滿足

    \[V = (\frac{n}{a})^{\frac{3}{2}}v = \sqrt{\frac{n}{a^3}}(nv) \]

    顯然，在這個新的 \(V-nv\) 關系中，“餃子數量減少一倍能多包多少餡”的回答是與厚度變化系數\(a\)相關的：

    1. 當\(a = \sqrt[3]{2} \approx 1.26\)時，能包的餡數量不變；
    2. 當\(a > 1.26\)時，能包的餡變少；
    3. 當\(a<1.26\)時，能包的餡增加。

    可以發現，厚度變化系數 \(a\) 存在一個臨界值 \(\sqrt[3]{n}\) ，當它大於臨界值時，能包的餡反而少了，反之則會更多。為了更好地觀察這一臨界值的變化，我們可以作出餃子數量變化倍數\(n\)與\(a\)臨界值的關系圖：

    

2 初等模型

2.2 滑艇比賽的成績

復習題

考慮八人艇分重量組（槳手體重不超過86 kg）個輕量級組（槳手體重不超過73 kg），建立模型說明重量組的成績比輕量組的大約好 5%.

考慮艇重

使用與書中相同的假設。

根據槳手輸出的功率與阻力 \(f\) 和速度 \(v\) 的乘積成正比，有

\[\begin{equation} np \propto fv \label{2.2.1} \end{equation} \]

根據假設2，3，可得

\[\begin{align} f &\propto sv^2 &p \propto w \end{align} \]

代入\(\eqref{2.2.1}\)式，可得

\[\begin{equation} v \propto (\frac{nw}{s})^\frac{1}{3} \label{2.2.3} \end{equation} \]

教材中已經得到浸沒面積 \(s\) 與艇手數 \(n\) 的關系

\[\begin{equation} s \propto n^\frac{2}{3} \label{2.2.2} \end{equation} \]

加入艇手體重和艇重，式\(\eqref{2.2.2}\)進一步寫為

\[s \propto (kn+nw)^\frac{2}{3} \]

其中，\(k\) 是艇重與艇手數的比例系數.

代入\(\eqref{2.2.3}\)式，並考慮到同為八人艇，消去 $ n$，可以得到速度與艇手重量 \(w\) 的關系

\[v \propto \frac{w^\frac{1}{3}}{(w+k)^\frac{2}{9}} \]

因為比賽成績 \(t\) 與 \(v\) 成反比，所以

\[\begin{equation} t \propto \frac{(w+k)^\frac{2}{9}}{w^\frac{1}{3}}\propto(\frac{1}{w}+\frac{2k}{w^2}+\frac{k^2}{w^3})^\frac{1}{9} \label{2.2.4} \end{equation} \]

由表1中最后一列的數據可知，對於八人艇，\(w_0=14.7n\)，即\(k=14.7\). 代入\(\eqref{2.2.4}\)式，可得

\[t \propto(\frac{1}{w}+\frac{29.4}{w^2}+\frac{216.09}{w^3})^\frac{1}{9} \]

最終，可以得到重量組和輕量組的相對成績差為

\[\delta = \frac{t_{73}-t_{86}}{t_{73}} \approx 2.4\% \]

不考慮艇重

使用與書中相同的假設。

根據槳手輸出的功率與阻力 \(f\) 和速度 \(v\) 的乘積成正比，有

\[\begin{equation} np \propto fv \label{2.2.5} \end{equation} \]

根據假設2，3，可得

\[\begin{align} f &\propto sv^2 &p \propto w \end{align} \]

代入\(\eqref{2.2.5}\)式，可得

\[\begin{equation} v \propto (\frac{nw}{s})^\frac{1}{3} \end{equation} \label{2.2.7} \]

教材中已經得到浸沒面積 \(s\) 與艇手數 \(n\) 的關系

\[\begin{equation} s \propto n^\frac{2}{3} \end{equation} \label{2.2.6} \]

加入艇手體重和艇重，\(\eqref{2.2.6}\)式進一步寫為

\[s \propto (nw)^\frac{2}{3} \]

代入\(\eqref{2.2.7}\)式，並考慮到同為八人艇，消去 $ n$，可以得到速度與艇手重量 \(w\) 的關系

\[v \propto w^\frac{1}{9} \]

因為比賽成績 \(t\) 與 \(v\) 成反比，所以

\[t \propto w^{-\frac{1}{9}} \]

最終，可以得到重量組和輕量組的相對成績差為

\[\delta = \frac{73^{-\frac{1}{9}} - 86^{-\frac{1}{9}}}{73^{-\frac{1}{9}}} \approx 1.8 \% \]

2.5 估計出租車的總數

復習題1

• MATLAB程序代碼

  % estimate population with sample
  % based on 5 models, which are mean model, middle model, ends-symmeric
  % model, average interval model and average division model
  
  % 1. set parameters
  Population = 1:1000;
  n = 20;     %number of sample points
  m = 400;    %repeat 400 times
  
  % set models
  mMean =     @(sample)   2 * mean(sample) - 1;
  mMiddle =   @(sample)   2 * median(sample) - 1;
  mEndsSym =  @(sample)   max(sample) + min(sample) - 1;
  mAvInter =  @(sample)   (1+1/n)*max(sample) - 1;
  mAvDiv =    @(sample)   (1 + 1/(2*n-1))*(max(sample) - 1/(2*n));
  
  % initialize arrays for storing estimations
  eMean = zeros(1,m);
  eMiddle = zeros(1,m);
  eEndsSym = zeros(1,m);
  eAvInter = zeros(1,m);
  eAvDiv = zeros(1,m);
  
  % 2. generate results
  for i = 1:m
      sample = randi(1000, [1,n]);
      eMean(i) = mMean(sample);
      eMiddle(i) = mMiddle(sample);
      eEndsSym(i) = mEndsSym(sample);
      eAvInter(i) = mAvInter(sample);
      eAvDiv(i) = mAvDiv(sample);
  end
  
  %3. Analyze
  Mean = myAnalyze(eMean);
  Middle = myAnalyze(eMiddle);
  EndsSym = myAnalyze(eEndsSym);
  AvInter = myAnalyze(eAvInter);
  AvDiv = myAnalyze(eAvDiv);
  
  format bank;
  StatisticalFeatures = {'Mean';'Error';'Std'};
  result = table(StatisticalFeatures, Mean, Middle, EndsSym, AvInter, AvDiv)
  
  function result = myAnalyze(e)
      result = zeros(3,1);
      result(1) = mean(e);
      result(2) = result(1) - 1000;
      result(3) = std(e);
      
      result = round(result*100)/100;
  end
  

• 運行結果

  	Mean	Middle	EndsSym	AvInter	AvDiv
  'Mean'	1002.24	1002.93	998.22	1000.57	978.31
  'Error'	2.24	2.93	-1.78	0.57	-21.69
  'Std'	132.22	213.22	69.1	49.84	48.68

• 分析

  • 當\(m\)，\(n\) 增大時，主要有以下影響：
  1. 各個模型的誤差都變小了，標准差的也減小了一些；
  2. 平均間隔模型的優越性更加突出地顯現了出來。

2.8 核軍備競賽

復習題1

\[\begin{equation} y = \frac{y_0}{s^a}=\frac{y_0}{s^{x/y}},0<s<1 \end{equation} \label{2.8.1} \]

證明\(\eqref{2.8.1}\)具有以下性質：

1. 圖線上凸
2. 若威懾值 \(y_0\) 變大，則曲線整體上移，且變陡
3. 若殘存率 \(s\) 變大，則曲線變平

性質一：

由\(\eqref{2.8.1}\)可得到 \(x\) 的表達式

\[x={\frac {y}{\ln \left( s \right) }\ln \left( {\frac {y_{{0}}}{y}} \right) } \]

進一步地，可以求出其一階導數和二階導數

\[\begin{equation} x' = - \frac{1} {\ln \left( s \right)} +{\frac {1}{\ln \left( s \right) }\ln \left( {\frac {y_{{0}}}{y}} \right) } \end{equation} \label{2.8.2} \]

\[\begin{equation} x''=-{\frac {1}{y\ln \left( s \right) }} \end{equation} \label{2.8.3} \]

已知 \(0<s<1\)，故

\[\frac{1}{\ln(s)} <0 \]

由假設可知，\(y_0 < y\)，故

\[\ln(\frac{y_0}{y}) <0 \]

將上兩式代入\(\eqref{2.8.2}\)和\(\eqref{2.8.3}\)，可得

\[x'>0 \]

\[x''<0 \]

所以 \(x\)-\(y\) 圖線是下凹的，則可知 \(y\)-\(x\) 圖線是上凹的.

性質二：

由 \(y_0\) 的代數含義可知，當 \(y_0\) 增大時，圖線上移.

由\(\eqref{2.8.2}\)可知，當 \(y_0\) 增大時，\(x\) 的一階導數變小，\(x\)-\(y\) 圖線是變平的，則可知 \(y\)-\(x\) 圖線是變陡的.

性質三：

由\(\eqref{2.8.2}\)可知，當 \(s\) 增大時，\(x\) 的一階導數變大，\(x\)-\(y\) 圖線是變陡的，則可知 \(y\)-\(x\) 圖線是變平的.

證明完畢.

第 2 章訓練題

第2題：請你設計按照測量長度估計魚的質量的方法. 假定魚池中只有一種鱸魚，並且得到8條魚的如下數據（胸圍指魚身的最大周長）：

身長/cm	36.8	31.8	43.8	36.8	32.1	45.1	35.9	32.1
質量/g	765	482	1162	737	482	1389	652	454
胸圍/cm	24.8	21.3	27.9	24.8	21.6	31.8	22.9	21.6

先用機理分析建立模型，再用數據確定參數.

問題分析

題中提供的測量長度分別為魚身的長度和最大周長。基於日常生活中對鱸魚的觀察，我們可以將鱸魚視為一個類圓柱體，其體積由等效高與等效底面周長來確定。同時，類圓柱體的等效高與等效底面周長分別與測量數據成正比例關系。在建立起測量長度與鱸魚體積的關系后，我們來考察鱸魚體積與質量的關系。考慮到魚池中只有一種鱸魚，並且被測量的魚都是成年魚（這一點可以從身長中推測出），我們不妨假設該魚池中所有成年鱸魚的密度相同。這樣鱸魚的體積與質量也成一致的正比例關系。

下面將建立模型並使用數據來確定參數.

模型假設

計魚身長度為 \(l\)，胸圍為 \(C\)， 體積為 \(V\)， 質量為\(m\).

1. 將魚視為類圓柱體，其高與底面周長同\(l\)、\(C\) 成正比例關系. 由底面周長與底面面積的平方關系，可以得到魚體積

   \[\begin{equation} V = klC^2 \end{equation} \label{2.p.1} \]

   其中，\(k\) 是比例系數.

2. 假設池中所有成年鱸魚的身體密度相同. 考慮到體積更小的幼年鱸魚必定密度不同（通常更小），所以對於整個鱸魚群體而言，\(m\) - \(V\) 不會成正比例關系. 因此，為了使成年鱸魚的 \(m\) - \(V\) 關系模型更接近實際情況，我們加入一個常數 \(b\)，得到

   \[\begin{equation} m = \rho V + b \end{equation} \label{2.p.2} \]

模型建立與參數確定

將 \(\eqref{2.p.1}\)代入\(\eqref{2.p.2}\)，可以得到

\[m = k\rho lC^2+b =alC^2+b \]

其中，\(a=k\rho\)

利用最小二乘法，根據所給數據擬合上式，得到

\[\begin{align} a&=0.035 &b=-45.16 \end{align} \]

即

\[m=0.035lC^2-45.16 \]

如下圖所示

模型解釋

1. 最終得到的常數 \(b=-45.16\)，說明成年鱸魚的質量隨體積的增長速度比幼年鱸魚快，這與前文分析時猜測的“幼年鱸魚身體密度更小”是相符的；
2. 擬合曲線在\(m=1389\) 的點誤差較大，意味着“過大鱸魚”可能會出現身體密度減小的情況；
3. 擬合曲線在大部分的點上誤差很小，模型具有應用價值。