雙圓弧插值算法（一）
Biarc Interpolation
在游戲開發中經常出現兩點間的插值問題。大多數情況下，只需要一個簡單的線性插值。線性插值很好，因為不會真的弄錯。只有一條可能的線連接這些點。跟着走。當需要曲線插值時，求解會變得復雜得多。有無限數量的曲線可供選擇，並有許多方法來生成：NURBS、Catmull Rom、Bézier、Hermite等。
想討論一種生成圓形圓弧的不太常見的方法。
為什么想要一個圓插值？一個原因可能是看起來很悅目，但也有一些實際用途。如果正在制作一個放置道路的水平編輯工具（或使用程序性道路制作游戲），可能希望轉彎處與真實世界中的道路相似。第二個例子，也是經常遇到的一個例子，是在劍后產生軌跡。揮劍的動作通常非常快。當劍在攻擊中弧線時，只能得到幾個樣本點。如果以慢動作播放動畫，會發現劍尖的軌跡相當圓。通過在采樣點之間生成圓弧，可以生成干凈的軌跡。
這里有一個為間諜編程的劍跡的例子。整個旋轉過程中可能只有五到六個樣本，但能夠創建一個平滑的頂點弧。Spyborgs算法與將要介紹的有點不同，但是產生了類似的結果（如果知道要查找什么，實際上會稍微差一點）。
那么，要如何創建這些曲線呢？解決方案在於一個稱為biarc的幾何學。
雙圓弧
雙圓弧是由兩個圓弧組成的曲線，使與匹配的切線相連。幾乎每一對控制點都可以通過一個biarc連接起來，而失敗的控制點在實踐中並沒有出現。下面是一些將紅色控制點連接到藍色控制點的biarc示例。
一旦可以求解兩個控制點之間的biarc，那么將一系列控制點與一系列biarc連接起來就很簡單了。這就是所謂的分段圓曲線。
目標
將生成兩個圓弧作為輸入。
假設輸入切線是標准化的。換句話說：
找到連接
在求解弧之前，需要找到連接點，pm。
現在可以選擇d1的任意實數，得到系統的解。根據值的不同，可以得到一個短的biarc或一個長的螺旋biarc。在右邊的圖像中，可以看到d1的不同值如何生成連接相同兩個控制點的不同biarc。稍后將討論自動為d1選擇一個令人滿意的值的方法。
邊緣案例
如果d2方程中的分母為零，需要處理d2為無窮大的情況。這意味着t2和連接點的切線是平行的。這將創建一個半圓（請參見右側顯示的藍色弧）。知道連接切線是t2，可以說明以下內容：
連接點pm必須位於q1外與t2平行的線上。
從p2到pm的向量必須垂直於t2。
從數學上講，這是：
