數域 $P$ 是一個數的集合，其中包含 $0$ 和 $1$，$P$ 中任意兩個數的和、差、積、商（除數不為0）仍是 $P$ 中的數(封閉性)。
任何一個數域都得包含 $0$ 和 $1$，不然數運算的結果為 $0$ 或 $1$ 的話，將不再屬於該數域。
證明一個數的集合是數域，即證明它對加減乘除封閉。
1. 實數域 $R$
實數，是一種能和數軸上的點一一對應的數。本來實數只叫作“數”，后來引入的虛數概念，數系擴充到復數系，原本的數便稱作“實數”，意義是“實在的數”。
實數是一維的數，即只能生活在一維的數軸上。
2. 復數域 $C$
實數是一維的數，而復數生活在二維復平面，擁有更大的自由度。復平面是用水平的實軸與垂直的虛軸建立起來的復數的幾何表示。
復數的理解：
1）復數首先是一個數值，數學表示為 $z = a + bi$。
2）復數也是復平面上的任意一個點，它的坐標為 $(a,b)$。
3）復平面上的每一個點和原點連線后構成一個既有大小又有方向的向量，因此復數也就可以看做是復平面上的一個向量。
模：復數的模即向量的模 $z = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$。
幅角：復平面上的向量與實軸正方向的夾角。輻角可以有無窮多個值，它們相差 $2\pi$ 整數倍，但主輻角 $Argz$ 只有一個值 $\theta_{0} \in [-\pi,\pi]$，有
$$
Arg\left ( z \right ) = \left\{\begin{matrix}
\arctan \left ( \frac{b}{a} \right ), & a>0 \\
\pm \frac{\pi}{2}, & a = 0,b \neq 0 \\
\arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) + \pi , & a < 0,b\geq 0\\
\arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) - \pi,& a < 0, b < 0
\end{matrix}\right.
$$
可以感受到，復數是一個向量，有長度，有方向，有角度，那么復數的運算完全可以看成是一種向量變換，即一種包含長度，角度等特征的數的變換。
1）任意一個復數乘以 $i$ 等價於：將向量逆時針旋轉 90°。
2）任意一個復數乘以 $-i$ 等價於：將向量順時針旋轉 90°。
3）兩個復數相乘就是：讓它們的模長相乘得到最終的模長，讓它們的幅角相加得到最終的幅角。
舉個例子：比如 $x^{2} = -1$，這個方程在實數域是沒有解的，但如果將整個方程放到復數域，即方程中所有的數現在都是復平面上的點，則得到的解是 $i$，
即 $1 * i * i = -1$，按復數變換來理解，就是復平面上的復數 $1$ 逆時針旋轉 180°變為復數 $-1$。
復數除了可以用 $z = a + bi$ 這種坐標表示法，還可以使用更直觀的模+輻角表示法，即三角表示法：$z = re^{i\theta}$。