點雲的基本特征和描述

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目錄

• 一、點雲特征的基本要求
• 二、點雲特征的分類
• 三、點雲的基本特征描述
• 四、PCA（Princile Components Analysis）主成分分析
  • 4.1 譜定理（Spectral Theorem）
  • 4.2 Rayleigh Quotients
  • 4.3 SVD分解的物理意義
  • 4.4 點雲的PCA步驟
  • 4.5 應用：PCA – Dimensionality Reduction
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一、點雲特征的基本要求

http://www.pointclouds.org/documentation/tutorials/

二、點雲特征的分類

https://blog.csdn.net/shaozhenghan/article/details/81346585

三、點雲的基本特征描述

1. 二維情況
   
2. 三維情況
   

四、PCA（Princile Components Analysis）主成分分析

4.1 譜定理（Spectral Theorem）

4.2 Rayleigh Quotients

4.3 SVD分解的物理意義

矩陣M經過SVD分解，分解成兩個正交矩陣UV和對角陣\(\sigma\),因此一個高維向量乘以M矩陣就相當於對向量在高維空間進行了旋轉和拉伸。

• 使用的核心算法是矩陣的特征值分解。
• 基於矩陣特征值或者SVD分解求:

1. 法向量方向
2. 對應(等效)橢球體的最短軸方向
3. 對應點雲坐標的協方差矩陣的最小特征值對應的特征向量

• 數據集在某個基上的投影值(也是在這個基上的坐標值)越分散，方差越大，這個基保留的信息也就越多
• 信息量保存能力最大的基向量一定是的協方差矩陣的特征向量,並且這個特征向量保存的信息量就是它對應的特征值.

4.4 點雲的PCA步驟

1. 找到點\(x_i\)周圍半徑\(R\)范圍內的所有點\(X\),計算均值：

\[\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} x_{i} \]

2. 計算樣本方差：

\[S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \]

3. 計算樣本協方差：

\[\begin{array}{l} \operatorname{Cov}(X, X)=E[(X-E(X))^T(X-E(X))] \\ \quad=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^T(x_i-\bar{x}))\end{array}\]

4. 計算協方差矩陣：

\[\frac{1}{n}(X-\bar{x})^T(X-\bar{x}) \]

5. 特征分解：

\[V\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & \\ & \lambda_{2} & \\ && \lambda_{3} \end{array}\right) V^{T}\]

\[\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq 0 \]

4.5 應用：PCA – Dimensionality Reduction

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