概率論中PDF、PMF和CDF的區別與聯系

一、總結

一句話總結：

PDF：概率密度函數（probability density function）, 在數學中，連續型隨機變量的概率密度函數（在不至於混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變量的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。

PMF：概率質量函數（probability mass function), 在概率論中，概率質量函數是離散隨機變量在各特定取值上的概率。

CDF：累積分布函數 (cumulative distribution function)，又叫分布函數，是概率密度函數的積分，能完整描述一個實隨機變量X的概率分布。

 

 

1、PDF和PMF區別？

1、PDF是連續變量特有的，PMF是離散隨機變量特有的；

2、PDF的取值本身不是概率，它是一種趨勢（密度）只有對連續隨機變量的取值進行積分后才是概率，也就是說對於連續值確定它在某一點的概率是沒有意義的；

3、PMF的取值本身代表該值的概率。

 

 

 

二、概率論中PDF、PMF和CDF的區別與聯系

轉自或參考：概率論中PDF、PMF和CDF的區別與聯系_秦剛剛的博客-CSDN博客_pmf
https://blog.csdn.net/yzcjwddbdgg/article/details/88063677

在概率論中，經常出現PDF、PMF和CDF，那么這三者有什么區別與聯系呢？

1. 概念解釋

• PDF：概率密度函數（probability density function）, 在數學中，連續型隨機變量的概率密度函數（在不至於混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變量的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。

• PMF : 概率質量函數（probability mass function), 在概率論中，概率質量函數是離散隨機變量在各特定取值上的概率。

• CDF : 累積分布函數 (cumulative distribution function)，又叫分布函數，是概率密度函數的積分，能完整描述一個實隨機變量X的概率分布。

2. 數學表示

2.1 PDF

如果XX是連續型隨機變量，定義概率密度函數為fX(x)fX(x)，用PDF在某一區間上的積分來刻畫隨機變量落在這個區間中的概率，即

2.2 PMF

如果XX離散型隨機變量，定義概率質量函數為fX(x)fX(x),PMF其實就是高中所學的離散型隨機變量的分布律,即

比如對於擲一枚均勻硬幣，如果正面令X=1X=1，如果反面令X=0X=0，那么它的PMF就是

2.3 CDF

不管是什么類型（連續/離散/其他）的隨機變量，都可以定義它的累積分布函數，有時簡稱為分布函數。

對於連續型隨機變量，顯然有：

$$F^X(x)=Pr(X\le x)={\int }^{-\infty }{f}^X(t)dt$$
那么CDF就是PDF的積分，PDF就是CDF的導數。

對於離散型隨機變量，其CDF是分段函數，比如舉例中的擲硬幣隨機變量，它的CDF為:

 

FX(x)=Pr(X≤x){0if   x&lt;012if   0≤x&lt;11if   x≥1F_X(x)=Pr(X\leq x)\left\{ \begin{array}{rcl} 0 &amp; &amp; {if \ \ \ x &lt;0 }\\ \frac{1}{2} &amp; &amp; {if \ \ \ 0\leq x&lt;1}\\ 1 &amp; &amp; {if\ \ \ x\geq 1}\\ \end{array} \right. FX​(x)=Pr(X≤x)⎩⎨⎧​021​1​​if   x<0if   0≤x<1if   x≥1​

3.概念分析

根據上述，我們能得到以下結論：

• PDF是連續變量特有的，PMF是離散隨機變量特有的；
• PDF的取值本身不是概率，它是一種趨勢（密度）只有對連續隨機變量的取值進行積分后才是概率，也就是說對於連續值確定它在某一點的概率是沒有意義的；
• PMF的取值本身代表該值的概率。

4.分布函數的意義

我們從兩點來分析分布函數的意義：

4.1 為什么需要分布函數？

對於離散型隨機變量，可以直接用分布律來描述其統計規律性；而對於連續型隨機變量(非離散型的隨機變量)，我們無法一一列舉出隨機變量的所有可能取值，所以它的概率分布不能像離散隨機變量那樣用分布律進行描述。於是引入PDF，用積分來求隨機變量落入某個區間的概率。

分布律(PMF)不能描述連續型隨機變量，密度函數(PDF)不能描述離散隨機變量，因此需要找到一個統一方式描述隨機變量統計規律，這就有了分布函數。

另外，在現實生活中，有時候人們感興趣的是隨機變量落入某個范圍內的概率是多少，如擲骰子的數小於3點的獲勝，那么考慮隨機變量落入某個區間的概率就變得有現實意義了，因此引入分布函數很有必要。

4.2 分布函數的意義

分布函數$F(x)$在點$x$處的函數值表示$X$落在區間$(-\infty ,x]$內的概率，所以分布函數就是定義域為$R$的一個普通函數，因此我們可以把概率問題轉化為函數問題，從而可以利用普通的函數知識來研究概率問題，增大了概率的研究范圍。

5.參考文獻

概率中的PDF，PMF，CDF
http://www.dataguru.cn/thread-150756-1-1.html
https://www.zhihu.com/question/23022012
https://www.zhihu.com/question/36853661
https://www.zhihu.com/question/21911186
http://wenku.baidu.com/view/823a0bb9f111f18582d05a14.html