23. 霍納法則（多項式求值快速算法）

一. 概念引入

1.定義

（1）x 的 n 次多項式： P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀。（其中 x 是底數， n 是指數， a_i 是每一項前面的系數， 0 ≤ i ≤ n ，並且最高次項前面的系數不為 0 ）

2. 實例分析

（1）求 xⁿ 的方法：

xⁿ = x · x · … · x （共 n 個 x ），顯然，式子中執行了 n - 1 次乘法。

取 x = 2, n = 3 時，該項為 2³ = 2 × 2 × 2，可以看出，執行了 2 次乘法。

（2）求 x 的 n 次多項式的方法：

假設有多項式 P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀。先看第一項 a_nxⁿ ，其中 xⁿ 執行了 n - 1 次乘法，再與 a_n 相乘，共執行 n 次乘法。其余各項同理。

取 x = 2, n = 4, 系數為 1 時， P(2) = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 1

 

二. 多項式求值常規算法

繼續以上例來說明問題：取 x = 2, n = 4， 系數為 1 時， P(2) =2⁴  + 2³ + 2² + 2¹ + 1。

當我們用正常思路去計算，即先算第一項，再算第二項，直到算出每項結果，最后將各項結果相加。先算第一項： 2 × 2 × 2 × 2 ，再算第二項： 2 × 2 × 2， 再算第三項： 2 × 2。該算法的時間復雜度是 O(n²)。我們可以發現，其中有很多重復步驟。第一項已經做完了大部分工作，其余項為什么要把第一項的勞動成果棄之不用呢？

 

三. 霍納法則

霍納將多項式進行變形：P(x) = a₃x³ + a₃x² + a₁x + a₀  → P(x) = x ( x ( x ( a³ ) + a² ) + a¹ ) + a⁰ ，這樣執行多項式求值，每一次的結果都能得到充分的利用，不難看出，霍納算法的時間復雜度是 O( n )

 

四. 代碼實現

1. 常規算法

這里我手動實現了一個函數 cal_power，用於計算 x 的 n 次方。

int cal_power(int x, int n) {
    int product = x;
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        product *= x;
    }

    return product;
}

int cal_ploy (vector<int> &coefficient, int x, int n) {
    int sum = coefficient[ n ];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int item = coefficient[ i ] * cal_power(x, n - i);
        sum += item;
    }

    return sum;
}

2.霍納法則 

int honour_rule(vector<int> &coefficient, int x, int n) {
    int sum = coefficient[0];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        sum = x * sum + coefficient[i];
    }

    return sum;
}

3.測試

int main() {
    int x, n, result;
    cout << "Enter x, n : ";
    cin >> x >> n;
    vector<int> coefficients;

    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        int current_num;
        cout << "coefficient " << (i + 1) << " : ";
        cin >> current_num;
        coefficients.push_back(current_num);
    }

    result = cal_ploy(coefficients, x, n);
    cout << "regular sum = " << result << endl;

    result = honour_rule(coefficients, x, n);
    cout << "honour rule sum = " << result << endl;

    cout << "Done." << endl;

    return 0;
}

其中需要說明幾點：

第一，代碼中沒有錯誤處理，邊界檢查，默認輸入沒有問題，這樣做只是為了清楚地說明算法思路，略去了算法無關的內容，但是實際操作中，這些代碼必不可少。

第二，用 vector 來保存系數，在輸入時，按照表達式的系數順序輸入即可，不用從后往前輸入。