前言
二面角
從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。
詳述：平面內的一條直線，把這個平面分為兩部分，每一部分都叫作半平面。從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角。這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面。二面角的大小，可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度。
二面角也可以看作是從一條直線出發的一個半平面繞着這條直線旋轉，它的最初位置和最終位置組成的圖形。
二面角的平面角的大小，與其頂點在棱上的位置無關。如果兩個二面角能夠完全重合，則說它們是相等的．如果兩個二面角的平面角相等，那么這兩個二面角相等。反之，相等二面角的平面角相等。
平面角：以二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。
直二面角
定義：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
判斷：①利用定義；②利用其平面角；
圖形：如圖，\(\alpha-l-\beta\)為直二面角，其平面角為\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)；
三面角[超綱]
有公共端點並且不在同一平面內的三條射線，以及相鄰兩條射線間的平面部分所組成的圖形叫作三面角，組成三面角的射線叫作三面角的棱；相鄰兩棱間的平面部分叫作三面角的面；每個面內由兩條棱組成的角叫作三面角的面角；相鄰兩個面間的二面角叫作三面角的二面角。
直三面角是指三個面角都是直角的三面角。直三面角的各個二面角都是直二面角，反之，三個二面角都是直二面角的三面角是直三面角。
分類：單直三面角、雙直三面角、三直三面角[俗稱牆角]
定義：直三面角是指三個面角都是直角的三面角。
判斷：①定義
圖形：
典例剖析
如圖，已知：三棱錐\(O-ABC\)的三個側面分別為\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)，且\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\perp\gamma\)，\(\beta\perp\gamma\)，\(\alpha\cap\beta=m\)，\(\alpha\cap\gamma=l\)，\(\beta\cap\gamma=n\)，
求證：\(l\perp m\)，\(l\perp n\)，\(m\perp n\)，
分析：[同一法]過點\(C\)做\(CD\perp \beta\)，垂足為點\(D\)，
由於點\(C\in l\)，點\(C\in \alpha\)，且\(\alpha\perp\beta\)，則\(D\in \alpha\)過一個平面的垂面內一點，做該平面的垂線，則垂線一定在該垂面內；\(\quad\)；
同理，點\(C\in l\)，點\(C\in \gamma\)，且\(\gamma\perp\beta\)，則\(D\in \gamma\)；
由於\(D\in \alpha\)，\(D\in \gamma\)，\(\alpha\cap\gamma=l\)，則點\(D\in l\)，
故點\(D\)和點\(O\)是同一個點，故\(CO\perp\beta\)，即\(l\perp\beta\)；
又\(m\in \beta\)，\(n\in \beta\)，則\(l\perp m\)，\(l\perp n\)，
同理可證\(n\perp m\)，\(n\perp l\)；
綜上所述，\(l\perp m\)，\(l\perp n\)，\(m\perp n\)，俗稱牆角；
注意：平面內的直角三角形\(\Rightarrow\)空間中的直三面角，如圖所示，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)兩兩垂直，
過點\(P\)做下底面\(ABC\)的垂線，垂足是\(O\)，連接\(AO\)並延長交\(BC\)於點\(D\)，則由\(PA\perp\)面\(PBC\)可知，
\(PA\perp BC\)，從而可知\(AD\perp\) \(BC\)，\(PD\perp\)\(BC\)，
令\(S_{\Delta PAB}=S_1\)，\(S_{\Delta PBC}=S_2\)，\(S_{\Delta PAC}=S_3\)，\(S_{\Delta ABC}=S\)，則有\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)
證明如下：\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)；
而\(S^2=\cfrac{1}{4}BC^2\cdot AD^2\)，\(BC^2=b^2+c^2\)，\(AD^2=PA^2+PD^2\)，\(PD^2=\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}(等面積法)\)，
故代入得到\(S^2=\cfrac{1}{4}(b^2+c^2)(a^2+\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2})=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)，故有\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)。
注意：平面內的直角三角形\(\Rightarrow\)空間中的直三面角，
如圖所示，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)兩兩垂直，過點\(P\)做下底面\(ABC\)的垂線，垂足是\(O\)，
連接\(AO\)並延長交\(BC\)於點\(D\)，則由\(PA\)\(\perp\)面\(PBC\)可知，\(PA\)\(\perp\)\(BC\)，從而可知\(AD\)\(\perp\)\(BC\)，\(PD\)\(\perp\)\(BC\)，
即\(\angle PDO=\alpha\)為側面\(PBC\)和下底面\(ABC\)的夾角，同理\(\angle PEO=\beta\)為側面\(PAB\)和下底面\(ABC\)的夾角，
\(\angle PFO=\gamma\)為側面\(PAC\)和下底面\(ABC\)的夾角，
則\(cos\alpha=sin\angle PAD=\cfrac{PD}{AD}\)，
故\(cos^2\alpha=sin^2\angle PAD=\cfrac{PD^2}{AD^2}\)\(=\cfrac{\cfrac{1}{4}PD^2\cdot BC^2}{\cfrac{1}{4}AD^2\cdot BC^2}=\cfrac{(S_\Delta PBC)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；
同理\(cos^2\beta=sin^2\angle PCE=\cfrac{PE^2}{CE^2}=\cfrac{\cfrac{1}{4}PE^2\cdot AB^2}{\cfrac{1}{4}CE^2\cdot AB^2}=\cfrac{(S_\Delta PAB)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；
故\(cos^2\gamma=sin^2\angle PBF=\cfrac{PF^2}{BF^2}=\cfrac{\cfrac{1}{4}PF^2\cdot AC^2}{\cfrac{1}{4}BF^2\cdot AC^2}=\cfrac{(S_\Delta PAC)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；
又由上題可知，\((S_\Delta PAC)^2+(S_\Delta PBC)^2+(S_\Delta PAB)^2=(S_\Delta ABC)^2\)，
即\(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=\cfrac{(S_\Delta PAC)^2+(S_\Delta PBC)^2+(S_\Delta PAB)^2}{(S_\Delta ABC)^2}=1\).
故有\(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1\)
分析：平面內的直角三角形\(\Rightarrow\)空間中的直三面角，
在直角三角形中，用等面積法很容易證明\(\cfrac{1}{CD}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)；
右圖中，在直角三角形\(PAD\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PD}\)；
在直角三角形\(PBC\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PD}=\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；
故有\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；