用python做時間序列預測十：時間序列實踐-航司乘客數預測

本文以航司乘客數預測的例子來組織相關時間序列預測的代碼，通過了解本文中的代碼，當遇到其它場景的時間序列預測亦可套用。

航司乘客數序列

預測步驟

# 加載時間序列數據
_ts = load_data()
# 使用樣本熵評估可預測性
print(f'原序列樣本熵:{SampEn(_ts.values, m=2, r=0.2 * np.std(_ts.values))}')
# 檢驗平穩性
use_rolling_statistics(_ts)  # rolling 肉眼
use_df(_ts)  # Dickey-Fuller Test 量化
# 平穩變換
_ts_log, _rs_log_diff = transform_stationary(_ts)
# 使用樣本熵評估可預測性
print(f'平穩變換后的序列樣本熵:{SampEn(_ts.values, m=2, r=0.2 * np.std(_ts.values))}')
# acf,pacf定階分析
order_determination(_rs_log_diff)
# plot_lag(_rs)# lag plot(滯后圖分析相關性)
# 構建模型
_fittedvalues, _fc, _conf, _title = build_arima(
    _ts_log)  # 這里只傳取log后的序列是因為后面會通過指定ARIMA模型的參數d=1來做一階差分，這樣在預測的時候，就不需要手動做逆差分來還原序列，而是由ARIMA模型自動還原
# 預測,並繪制預測結果圖
transform_back(_ts, _fittedvalues, _fc, _conf, _title)

預測結果

完整代碼

# coding='utf-8'
"""
航司乘客數時間序列數據集
該數據集包含了1949-1960年每個月國際航班的乘客總數。
"""
import numpy as np
from matplotlib import rcParams
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf

params = {'font.family': 'serif',
          'font.serif': 'FangSong',
          'font.style': 'italic',
          'font.weight': 'normal',  # or 'blod'
          'font.size': 12,  # 此處貌似不能用類似large、small、medium字符串
          'axes.unicode_minus': False
          }
rcParams.update(params)
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
# 未來pandas版本會要求顯式注冊matplotlib的轉換器，所以添加了下面兩行代碼，否則會報警告
from pandas.plotting import register_matplotlib_converters

register_matplotlib_converters()


def load_data():
    from datetime import datetime
    date_parse = lambda x: datetime.strptime(x, '%Y-%m-%d')
    data = pd.read_csv('datas/samples/AirPassengers.csv',
                       index_col='Month',  # 指定索引列
                       parse_dates=['Month'],  # 將指定列按照日期格式來解析
                       date_parser=date_parse  # 日期格式解析器
                       )
    ts = data['y']
    print(ts.head(10))
    plt.plot(ts)
    plt.show()
    return ts


def use_rolling_statistics(time_series_datas):
    '''
    利用標准差和均值來肉眼觀測時間序列數據的平穩情況
    :param time_series_datas:
    :return:
    '''
    roll_mean = time_series_datas.rolling(window=12).mean()
    roll_std = time_series_datas.rolling(window=12).std()
    # roll_variance = time_series_datas.rolling(window=12).var()
    plt.plot(time_series_datas, color='blue', label='Original')
    plt.plot(roll_mean, color='red', label='Rolling Mean')
    plt.plot(roll_std, color='green', label='Rolling Std')
    # plt.plot(roll_variance,color='yellow',label='Rolling Variance')

    plt.legend(loc='best')
    plt.title('利用Rolling Statistics來觀測時間序列數據的平穩情況')
    plt.show(block=False)


def use_df(time_series_datas):
    '''
    迪基-富勒單位根檢驗
    :param time_series_datas:
    :return:
    '''
    from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
    dftest = adfuller(time_series_datas, autolag='AIC')
    dfoutput = pd.Series(dftest[0:4], index=['Test Statistic', 'p-value', '#Lags Used', 'Number of Observations Used'])
    for key, value in dftest[4].items():
        dfoutput['Critical Value (%s)' % key] = value
    print(dfoutput)


def use_moving_avg(ts_log):
    moving_avg_month = ts_log.rolling(window=12).mean()
    plt.plot(moving_avg_month, color='green', label='moving_avg')
    plt.legend(loc='best')
    plt.title('利用移動平均法平滑ts_log序列')
    plt.show()
    return moving_avg_month


def use_exponentially_weighted_moving_avg(ts_log):
    expweighted_avg = ts_log.ewm(halflife=12).mean()
    plt.plot(expweighted_avg, color='green', label='expweighted_avg')
    plt.legend(loc='best')
    plt.title('利用指數加權移動平均法平滑ts_log序列')
    plt.show()
    return expweighted_avg


def use_decomposition(ts_log):
    '''
    時間序列分解
    :param ts_log:
    :return: 去除不平穩因素后的序列
    '''
    decomposition = seasonal_decompose(ts_log, freq=12)
    trend = decomposition.trend
    seasonal = decomposition.seasonal
    residual = decomposition.resid

    plt.subplot(411)
    plt.plot(ts_log, label='Original')
    plt.legend(loc='best')
    plt.subplot(412)
    plt.plot(trend, label='Trend')
    plt.legend(loc='best')
    plt.subplot(413)
    plt.plot(seasonal, label='Seasonality')
    plt.legend(loc='best')
    plt.subplot(414)
    plt.plot(residual, label='Residuals')
    plt.legend(loc='best')
    plt.tight_layout()
    plt.show()
    # 衡量趨勢強度
    r_var = residual.var()
    tr_var = (trend + residual).var()
    f_t = np.maximum(0, 1.0 - r_var / tr_var)
    print(f_t)
    # 衡量季節性強度
    sr_var = (seasonal + residual).var()
    f_s = np.maximum(0, 1.0 - r_var / sr_var)
    print(f"-------趨勢強度:{f_t},季節性強度:{f_s}------")
    return residual


def transform_stationary(ts):
    '''
    平穩變換：
    消除趨勢：移動平均、指數加權移動平均
    有時候簡單的減掉趨勢的方法並不能得到平穩序列，尤其對於高季節性的時間序列來說，此時可以采用differencing(差分)或decomposition(分解)
    消除趨勢和季節性：差分、序列分解
    :param ts:
    :return:
    '''
    # 利用log降低異方差性
    ts_log = np.log(ts)
    # plt.plot(ts_log, color='brown', label='ts_log')
    # plt.title('ts_log')
    # plt.show()

    # 移動平均法，得到趨勢（需要確定合適的K值，當前例子中，合適的K值是12個月，因為趨勢是逐年增長，但是有些復雜場景下，K值的確定很難）
    # trend = use_moving_avg(ts_log)
    # 指數加權移動平均法平，得到趨勢(由於每次都是從當前時刻到起始時刻的指數加權平均，所以沒有確定K值的問題)
    # trend = use_exponentially_weighted_moving_avg(ts_log)
    # print(trend)
    # 減去趨勢：將平滑后的序列從ts_log序列中移除
    # rs = ts_log - trend
    # 若趨勢建模是用的移動平均法，由於是取前12個月的均值，所以開始的11個值的移動平均都是非數了，需要去除非數
    # rs.dropna(inplace=True)

    # differencing(差分)
    rs_log_diff = ts_log - ts_log.shift()  # 1階差分
    # use_rolling_statistics(rs)
    # rs = rs - rs.shift() # 2階差分
    # 季節性差分 ,此案例中的季節間隔為12個月  d=1 D=1
    # rs = (ts_log - ts_log.shift(periods=12)) - (ts_log.shift() - ts_log.shift().shift(periods=12))
    rs_log_diff.dropna(inplace=True)

    # decomposition(分解)
    # rs = use_decomposition(ts_log)
    # rs.dropna(inplace=True)

    # 對去除趨勢后的序列做平穩性檢驗
    # use_rolling_statistics(rs)
    use_df(rs_log_diff)
    return ts_log, rs_log_diff


def order_determination(ts_log_diff):
    '''
    利用acf和pacf確定模型以及階數
    :param ts_log_diff:
    :return:
    '''
    lag_acf = acf(ts_log_diff, nlags=10, fft=False)
    lag_pacf = pacf(ts_log_diff, nlags=10, method='ols')
    z = 1.96
    # z = 1.65
    # Plot ACF:
    plt.subplot(121)
    plt.plot(lag_acf)
    plt.axhline(y=0, linestyle='--', color='gray')
    plt.axhline(y=-z / np.sqrt(len(ts_log_diff) - 1), linestyle='--',
                color='gray')  # 利用白噪聲的標准正態分布假設來選擇相關性的置信度區間，1.96是95%置信度下的統計量
    plt.axhline(y=z / np.sqrt(len(ts_log_diff) - 1), linestyle='--', color='gray')
    plt.title('Autocorrelation Function')
    # Plot PACF:
    plt.subplot(122)
    plt.plot(lag_pacf)
    plt.axhline(y=0, linestyle='--', color='gray')
    plt.axhline(y=-z / np.sqrt(len(ts_log_diff)), linestyle='--', color='gray')
    plt.axhline(y=z / np.sqrt(len(ts_log_diff)), linestyle='--', color='gray')
    plt.title('Partial Autocorrelation Function')
    plt.tight_layout()
    plt.show()


def draw_rss_plot(ts_log_diff, orders, title, freq='MS'):
    from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
    model = ARIMA(ts_log_diff, order=orders, freq=freq)
    results_fitted = model.fit(disp=-1)
    # print(results.summary())
    plt.plot(ts_log_diff)
    plt.plot(results_fitted.fittedvalues, color='red')
    plt.title('%s RSS: %.4f' % (title, sum((results_fitted.fittedvalues - ts_log_diff) ** 2)))
    plt.show()
    return results_fitted.fittedvalues


def draw_future_plot(ts_log_diff, orders, seasonal_order, title, freq='MS'):
    # ARIMA模型
    # model = ARIMA(ts_log_diff, order=orders, freq=freq)
    # results_fitted = model.fit(disp=-1, trend='c')
    # fit_values = results_fitted.fittedvalues
    # fc, _, conf = results_fitted.forecast(36, alpha=0.05)  # 95% conf

    # 季節性ARIMA模型
    model = SARIMAX(ts_log_diff, order=orders, seasonal_order=seasonal_order)
    results_fitted = model.fit(disp=5)
    fit_values = results_fitted.fittedvalues
    print(results_fitted.summary())
    fc = results_fitted.forecast(36)
    conf = None

    return fit_values, fc, conf, title


def build_arima(ts_log_diff):
    '''
    start_params表示ARIMA模型的所有項的參數，包括常數項，AR階數項，MA階數項，隨機誤差項.
    '''
    # order = (0, 1, 0) # 僅能靠常數的逆差分構建一個趨勢,這里的常數是start_params的第一個元素，是通過一個全一的exog列向量和一個endog列向量做OLS方法得到的一個常數，這個常數其實就是endog向量元素的平均值
    # order = (3, 1, 0) # 逆差分構建一個趨勢 + 變量自回歸擬合一定的波動
    # order = (0, 1, 3) # 逆差分構建一個趨勢 + 隨機誤差自回歸擬合一定的波動，誤差應該是來自平均值作為預測的誤差，待求證
    order = (3, 0, 2)  # 變量自回歸擬合一定的波動 + 預測誤差自回歸擬合一定的波動
    seasonal_order = (0, 1, 0, 12)  # 季節性差分，季節窗口=12個月

    # draw_rss_plot(ts_log_diff, order, '擬合：%s' % str(order))

    fittedvalues, fc, conf, title = draw_future_plot(ts_log_diff, order, seasonal_order,
                                                     '預測：%s,%s' % (str(order), str(seasonal_order)))
    return fittedvalues, fc, conf, title


def transform_back(ts, fittedvalues, fc, conf, title):
    '''
    變換回平穩變換之前的狀態，以便預測目標觀測值
    :param ts: 原始序列
    :param fittedvalues: 擬合出的序列
    :param fc: 預測的未來序列
    :return:
    '''
    # Make as pandas series
    future_index = pd.date_range(start=ts.index[-1], freq='MS', periods=36)
    fc_series = pd.Series(fc, index=future_index)
    print(fc_series.head())
    print(fittedvalues.head(24))
    lower_series, upper_series = None, None
    if conf is not None:
        lower_series = pd.Series(conf[:, 0], index=future_index)
        upper_series = pd.Series(conf[:, 1], index=future_index)

    current_ARIMA_log = pd.Series(fittedvalues, copy=True)
    future_ARIMA_log = pd.Series(fc_series, copy=True)

    # 逆log
    current_ARIMA = np.exp(current_ARIMA_log)
    future_ARIMA = np.exp(future_ARIMA_log)
    # lower_ARIMA = np.exp(lower_log_series)
    # upper_ARIMA = np.exp(upper_log_series)
    # Plot
    plt.figure(figsize=(12, 5), dpi=100)
    plt.plot(ts, label='current_actual')
    plt.plot(current_ARIMA, label='current_fit')
    plt.plot(future_ARIMA, label='forecast', marker='o', ms=3)
    if lower_series is not None:
        # plt.fill_between(lower_ARIMA.index, lower_ARIMA, upper_ARIMA,color='k', alpha=.15)
        pass
    plt.title('Forecast vs Actuals %s' % title)
    plt.legend(loc='upper left', fontsize=8)
    plt.show()


def plot_lag(rs):
    from pandas.plotting import lag_plot
    fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(10, 3), sharex=True, sharey=True, dpi=100)
    for i, ax in enumerate(axes.flatten()[:4]):
        lag_plot(rs, lag=i + 1, ax=ax, c='firebrick')
        ax.set_title('Lag ' + str(i + 1))

    fig.suptitle('Lag Plots of AirPassengers', y=1.15)
    plt.show()
    
def SampEn(U, m, r):
    """
    Compute Sample entropy
    用於量化時間序列的可預測性
    思想：
    返回一個-np.log(A/B)，該值越小預測難度越小，所以A/B越大，預測難度越小。
    :param U: 時間序列
    :param m: 模板向量維數
    :param r: 距離容忍度，一般取0.1~0.25倍的時間序列標准差，也可以理解為相似度的度量閾值，小於這個閾值的2個向量被認為是相似的
    :return: 返回一個-np.log(A/B)，該值越小預測難度越小，所以A/B越大，預測難度越小。 一般可以和同等長度的隨機序列的結果比較，小於這個結果，則具備一定的可預測性
    """

    def _maxdist(x_i, x_j):
        """
         Chebyshev distance
        :param x_i:
        :param x_j:
        :return:
        """
        return max([abs(ua - va) for ua, va in zip(x_i, x_j)])

    def _phi(m):
        x = [[U[j] for j in range(i, i + m - 1 + 1)] for i in range(N - m + 1)]
        C = [len([1 for j in range(len(x)) if i != j and _maxdist(x[i], x[j]) <= r]) for i in range(len(x))]
        return sum(C)

    N = len(U)
    return -np.log(_phi(m + 1) / _phi(m))


if __name__ == '__main__':
    # 加載時間序列數據
    _ts = load_data()
    # 使用樣本熵評估可預測性
    print(f'原序列樣本熵:{SampEn(_ts.values, m=2, r=0.2 * np.std(_ts.values))}')
    # 檢驗平穩性
    use_rolling_statistics(_ts)  # rolling 肉眼
    use_df(_ts)  # Dickey-Fuller Test 量化
    # 平穩變換
    _ts_log, _rs_log_diff = transform_stationary(_ts)
    # 使用樣本熵評估可預測性
    print(f'平穩變換后的序列樣本熵:{SampEn(_ts.values, m=2, r=0.2 * np.std(_ts.values))}')
    # acf,pacf定階分析
    order_determination(_rs_log_diff)
    # plot_lag(_rs)# lag plot(滯后圖分析相關性)
    # 構建模型
    _fittedvalues, _fc, _conf, _title = build_arima(
        _ts_log)  # 這里只傳取log后的序列是因為后面會通過指定ARIMA模型的參數d=1來做一階差分，這樣在預測的時候，就不需要手動做逆差分來還原序列，而是由ARIMA模型自動還原
    # 預測,並繪制預測結果圖
    transform_back(_ts, _fittedvalues, _fc, _conf, _title)

小結

陸陸續續寫了10篇時間序列相關的文章了，本系列主要是應用為主，包括初識概念、時間序列數據可視化、時間序列分解、平穩/非平穩時間序列、時間序列缺失值處理、相關函數圖/偏相關函數圖/滯后圖、時間序列復雜度量化、Granger causality test(格蘭傑因果檢驗)、ARIMA模型簡介、時間序列實踐-航司乘客數預測。
暫時先記錄到這里，后續應該還會補充一些，比如基於深度學習的時間序列預測等。

ok,本篇就這么多內容啦~，感謝閱讀O(∩_∩)O。