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給定n個權值作為n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若該樹的帶權路徑長度達到最小，稱這樣的二叉樹為最優二叉樹，也稱為哈夫曼樹(Huffman Tree)。哈夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，權值較大的結點離根較近。
構造哈夫曼樹的算法如下：
1）對給定的n個權值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}構成n棵二叉樹的初始集合F={T1,T2,T3,...,Ti,..., Tn}，其中每棵二叉樹Ti中只有一個權值為Wi的根結點，它的左右子樹均為空。
2）在F中選取兩棵根結點權值最小的樹作為新構造的二叉樹的左右子樹，新二叉樹的根結點的權值為其左右子樹的根結點的權值之和。
3）從F中刪除這兩棵樹，並把這棵新的二叉樹同樣以升序排列加入到集合F中。
4）重復2）和3），直到集合F中只有一棵二叉樹為止。
假設給定a、b、c、d、e、f的權值分別為{9, 12, 6, 3, 5, 15}，構造哈夫曼樹的過程如下：
1、為了方便起見，首先將權值進行從小到大排序即,3, 5, 6, 9,12,15
2、選取最小的兩個權值3和5構建子樹。3+5 = 8作為3,5的父節點（我們規定要滿足左子節點小於右子節點）
3、順序提取6作為左子節點，8作為右子節點。將6+8 = 14作為其父節點。
4、我們發現14大於接下來的9,12。故將9,12作為子節點，9+12 = 21為其父節點構建一個子樹。提取元素15，作為右節點上一步構建的14作為左節點，將14+15 = 29作為他們的父節點構建另一個子樹。
5、最后將上述兩個子樹的父節點21,29分別作為左節點和右節點。將21+29 = 50作為他們的父節點。這樣就構造出了一個哈夫曼樹。
接下來進行帶權路徑長的計算：
a，b，f（權值9,12,15）三個元素距父節點的距離都為2
c（權值6）元素距父節點的距離為3
d，e（權值3,5）元素距父節點的距離為4
故這棵哈夫曼樹的WPL為：WPL =（9 + 12 + 15）2 + 6 * 3 + （3 + 5） 4 = 122
兩種方法求解WPL：
（1）各葉子結點權值和路徑長度之積的和。
（2）所有非葉子結點的權值之和。
哈夫曼編碼
根據哈夫曼樹可以解決報文編碼問題。假設需要一個字符串“aaaabbbbccccdddeeeeffffaaaabbbbcceffffabbbbfffffff”進行編碼，將它轉換為唯一的二進制碼，但要求轉換出來的二進制編碼的長度最小。
該字符串中正好滿足a、b、c、d、e、f分別出現9, 12, 6, 3, 5, 15次，作為他們的權值。按照上述方法構建好哈夫曼樹。
從哈夫曼樹根節點開始，對左子樹分配代碼“0”，對右子樹分配“1”，一直到達葉子節點。然后，將從樹根沿着每條路徑到達葉子節點的代碼排列起來，便得到每個葉子節點的哈夫曼編碼，如下右圖。
從圖中可以看出：
a 的編碼為：00
b 的編碼為：01
c 的編碼為：100
d 的編碼為：1010
e 的編碼為：1011
f 的編碼為：11
參考：
https://www.cnblogs.com/luankun0214/p/4423648.html?utm_source=tuicool&utm_medium=referral