upd 2021/08/13:
搬博客時隨便一看發現當時完全是在扯淡——矩陣乘法哪來交換律啊我的天...
已經修改了，誤人子弟了真是抱歉...
還有，為了簡便證明過程只證明了方陣的結合律，一般矩陣的結合律證明與此相似。
其實很naive...
證明的主要意義在於說明兩種矩陣運算如有分配律，則有矩陣乘法的結合律的性質。
若有面向矩陣的二元運算 \(\oplus , \otimes\)，其中 \(\oplus\) 滿足交換律，並且有 \(\otimes\) 對 \(\oplus\) 的左、右分配律，即
\[\begin{aligned} a \otimes ( b \oplus c ) = a \otimes b \oplus a \otimes c \\ ( b \oplus c ) \otimes a = b \otimes a \oplus c \otimes a \end{aligned} \]據此定義矩陣乘法 \(A * B = C\) ，即
\[C_{i,j} = \bigoplus _{k=1}^n A_{i,k} \otimes B_{k,j} \]（ \(A,B,C\) 為矩陣，用 \(A_{i,j}\) 表示矩陣 \(A\) 中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素）
則矩陣乘法具有結合律：
\[(A*B)*C = A*(B*C) \]
證明：
\[\begin{aligned} ( ( A*B ) *C ) _{i,j} &= \bigoplus_{k=1}^{n} (A*B)_{i,k} \otimes C_{k,j} \\ &= \bigoplus_{k=1}^{n} (\bigoplus_{l=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k}) \otimes C_{k,j} \\ &= \bigoplus_{k=1}^{n} \bigoplus_{l=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k} \otimes C_{k,j} \quad &\text{...分配律} \\ &= \bigoplus_{l=1}^{n} \bigoplus_{k=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k} \otimes C_{k,j} \quad &\text{...交換律更換枚舉} \\ &= \bigoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} \otimes ( \bigoplus_{k=1}^n B_{l,k} \otimes C_{k,j} ) \quad &\text{...分配律} \\ &= \bigoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} \otimes ({B*C})_{l,j} \\ &= (A*(B*C))_{i,j} \end{aligned} \]