今天看《程序設計語言概念》（Concepts of Programming Language），第七章“結合性”一節中有這么一段：
某些計算機中的整數加法不具有結合性。例如，假設一個程序要計算“A + B + C + D”，其中A、C是很大的正數，B、D是絕對值很大的負數。在這種情況下，將B加到A並不會導致溢出，但將C加到A就會溢出。B和D與此類似。
這段話很好理解，因為只要是程序員，整數計算可能會溢出是基本的常識。但這段話只談到計算的中間結果發生溢出的情況。如果不考慮中間結果而將重點放在最終結果上，計算順序是否依然會對結果產生影響呢？也就是說，計算機中的加法滿足結合律嗎？即：
(a + b) + c
是否一定等於
(a + c) + b
呢？
首先，如果每個中間結果以及最終結果都沒有溢出，可以肯定必然是滿足結合律的，否則就是計算機自身有錯誤。
如果中間結果發生了溢出會怎樣？我們不妨編寫一個簡單的程序驗證一下。這里我們選擇四個整數，a和c是兩個是很大的正數，b和d是兩個很小的負數（即絕對值很大的負數）。
int a = 2147483392; //0x7fffff00; int b = -2147479553; //0x80000fff; int c = 2146500592; //0x7ff0fff0; int d = -2147421968; //0x8000f0f0; int sum1 = ((a + b) + c) + d; int sum2 = (a + b) + (c + d); int sum3 = (a + c) + (b + d); System.out.println("((a + b) + c) + d=" + sum1); System.out.println("(a + b) + (c + d)=" + sum2); System.out.println("(a + c) + (b + d)=" + sum3);
sum1為從左到右依次計算a+b+c+d的和；sum2先計算a+b和c+d，然后再計算二者的和；sum3則先計算a+c和b+d，然后再求和。通過代碼可以看出，sum1和sum2的中間結果沒有發生溢出，但sum3在計算a+c和b+d時都發生了溢出。下面來看看實際運行結果：
((a + b) + c) + d=-917537 (a + b) + (c + d)=-917537 (a + c) + (b + d)=-917537
可以看到無論順序如何結果都是正確的。所以我們可以得出結論：
計算機中的整數加法運算滿足結合律
這里還有一個問題，在上面的例子中，雖然中間結果發生了溢出，但最終結果是沒溢出的。那如果最終結果也溢出了會怎么樣？答案是不同計算順序得到的結果仍然一樣，只不過結果都是錯的（都溢出了）。這是由計算機本身有限的精度導致的，和結合律無關，所以這種情況仍然認為是符合結合律的。你可以自己寫個程序來驗證這一點。
不過要注意，這個結論是有限定條件的，對現代大多數計算機系統來說該結論都成立，因為這些系統通常都采用“二進制補碼”的方式來存儲整數，而二進制補碼的加法運算是符合結合律的。不滿足結合律的例子也是有的，比如BCD碼的加法運算。
------------------------------------------------------------------
寫到這里，我想到了一個老題目：如何在不引入臨時變量的情況下交換2個整數的值？一般來說，有2種方法可以做到，一種是使用加法，另一種是使用異或：
a = a + b; b = a - b; a = a - b;
a = a ^ b; b = a ^ b; a = a ^ b;
有人說第一種方法有問題，原因是將a和b相加時可能會溢出。如果你看了這篇文章，就會知道這種說法是錯誤的了——雖然a+b可能會溢出，但最后仍能得到正確的結果。要說缺點，只是它的效率比第二種要低一些。但話說回來，它的可讀性卻要優於第二種。
------------------------------------------------------------------
補碼簡介
下面簡單介紹一下補碼，如果對此不感興趣或已比較熟悉請略過。二進制補碼（Two's complement）采用“2^N的補”的方式存儲的整數編碼（其中N為整數的位長）。相比而言，另一種存儲方式“反碼”采用的是“1的補”，即逐位計算各個位的補（1的補為0，0的補為1，在二進制中這和取反是一樣的），因此反碼的英文名稱為“One's complement”。
補碼可以認為是對反碼的改進，這不但因為補碼中統一了“正零和負零”，還因為其計算也要比反碼容易。最主要的一點是補碼不用考慮進位（即溢出位），而反碼則必須考慮。補碼的另一個優點是其符號位同時也是計算位，因此計算時無需對正數和負數區別對待，這一點和反碼一樣。與補碼和反碼不同，原碼則必須同時考慮數的正負和進位，因此很少有系統采用原碼的方式來存儲整數。
下面分別用補碼和反碼的方式來計算“10 - 1”，以此加深理解。
由於大多數計算機只實現了加法而沒有減法，因此“10 - 1”實際上是轉換為“10 + (-1)”來計算的。為了簡單，這里假設整數只有8位。
補碼的計算過程如下（-1的補碼為“1111 1111”）：
0000 1010
+ 1111 1111
——————
1 0000 1001
結果發生了溢出，產生了一個進位，對補碼來說簡單忽略即可，因此最后的結果為“9”。
注意這里的溢出屬於正常溢出。相比之下，如果正數+正數結果為負數，或負數+負數結果為正數時，則說明發生了不正常的溢出。正常的溢出結果仍然是正確的（這正是補碼的特性），而不正常的溢出得到的是錯誤的結果。
反碼的計算過程為（-1的反碼為“1111 1110”）：
0000 1010
+ 1111 1110
——————
1 0000 1000
同樣發生了溢出，但此時不能忽略進位，否則將得到錯誤結果“8”，因此還需要把進位加到結果上：
0000 1000
+ 1
——————
0000 1001
得到最終結果“9”。
總結
最后再來簡單總結一下。在大多數計算機系統中，整數的加法運算滿足結合律。具體來說，如果最終結果沒有溢出，即使計算過程的中間結果出現了溢出也不會影響最終結果。而如果最終結果本身就是溢出的，改變計算順序仍然會得到一致的結果，這時候仍然認為是滿足結合律的。
雖然這篇文章對實際編程可能用處不大，因為我們通常只需注意最終結果不要溢出即可，對中間過程無需在意。但這篇文章為這個結論提供了一定的理論支持，以幫助我們加深對計算機整數加法運算的理解。
參考資料：