LeetCode——零錢兌換 II

Q：給定不同面額的硬幣和一個總金額。寫出函數來計算可以湊成總金額的硬幣組合數。假設每一種面額的硬幣有無限個。

示例 1:
輸入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
輸出: 4
解釋: 有四種方式可以湊成總金額:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:
輸入: amount = 3, coins = [2]
輸出: 0
解釋: 只用面額2的硬幣不能湊成總金額3。
示例 3:
輸入: amount = 10, coins = [10]
輸出: 1

A：
1.回溯法
超時。
為避免重復的情況（【1,2】和【2,1】），設定coins是遞增的，且設定一個index，只能使用index后的coin進行組裝。

    private int sum;
//    private ArrayList<Integer> array = new ArrayList<>(); //查看實際情況
    public int change(int amount, int[] coins) {
        if (amount == 0)
            return 1;
        else if (coins.length == 0)
            return 0;
        sum = 0;
        Arrays.sort(coins);
        coin(amount, coins, 0);
        return sum;
    }

    private void coin(int amount, int[] coins, int index) {//設定index，保證遞增存入
        if (amount == 0) {
            sum++;
            return;
        }
        for (int i = index; i < coins.length; i++) {
            if (amount >= coins[i]) {
                amount -= coins[i];
//                array.add(coins[i]);
                coin(amount, coins, i);
//                array.remove(array.size() - 1);
                amount += coins[i];
            }
        }
    }

2.動態規划
完全背包問題。
dp[i][j]的定義如下：
若只使用前i個物品，當背包容量為j時，有dp[i][j]種方法可以裝滿背包。
換句話說，翻譯回我們題目的意思就是：
若只使用coins中的前i個硬幣的面值，若想湊出金額j，有dp[i][j]種湊法。

經過以上的定義，可以得到：
base case 為dp[0][..] = 0， dp[..][0] = 1。因為如果不使用任何硬幣面值，就無法湊出任何金額；如果湊出的目標金額為 0，那么“無為而治”就是唯一的一種湊法。
我們最終想得到的答案就是dp[N][amount]，其中N為coins數組的大小。
大致的偽碼思路如下：

int dp[N+1][amount+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 1

for i in [1..N]:
    for j in [1..amount]:
        把物品 i 裝進背包,
        不把物品 i 裝進背包
return dp[N][amount]

如果你不把這第i個物品裝入背包，也就是說你不使用coins[i]這個面值的硬幣，那么湊出面額j的方法數dp[i][j]應該等於dp[i-1][j]，繼承之前的結果。
如果你把這第i個物品裝入了背包，也就是說你使用coins[i]這個面值的硬幣，那么dp[i][j]應該等於dp[i][j-coins[i-1]]。

    public int change(int amount, int[] coins) {
        if (amount == 0)
            return 1;
        else if (coins.length == 0)
            return 0;
        int[][] dp = new int[coins.length + 1][amount + 1];
        for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= amount; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];//不加入這枚硬幣
                if (j - coins[i - 1] >= 0)//加入這枚硬幣
                    dp[i][j] += dp[i][j - coins[i - 1]];                    
            }
        }
        return dp[coins.length][amount];
    }

3.轉成一維數組

int change(int amount, int[] coins) {
    int n = coins.length;
    int[] dp = new int[amount + 1];
    dp[0] = 1; // base case
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 1; j <= amount; j++)
            if (j - coins[i] >= 0)
                dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]];

    return dp[amount];
}