Shone.Math開源系列2
實數類型（含分數和無理數）的實現
作者：Shone
聲明：原創文章歡迎轉載，但請注明出處，https://www.cnblogs.com/ShoneSharp。
摘要: 計算機數值計算存在輸入進制誤差、計算過程的分數和無理數運算誤差，是很多編程開發的痛點所在。開源項目Shone.Math提供了統一的實數類型Real，支持分數和無理數計算，做到精度、性能和存儲的各方面平衡，可以消除輸入進制誤差和分數計算誤差，大幅減少無理數的計算過程誤差。
Shone.Math是一個支持Math<T>泛型數值計算和Real實數運算（浮點數、分數、PI,E,Log,Exp等無理數）的輕量級基礎數學庫。該項目開源地址https://github.com/shonescript/Shone.Math，是本人把多年代碼積累正式轉向.NET 5的第一個開源項目，請大家多多支持了。
本系列博客上個章節詳細介紹了Shone.Math的Math<T>的泛型實現，全面支持了系統數值類型。有評論提到了相關數據精度話題，因此今天就把Shone.Math的特色—“實數運算”提前進行介紹。
一、數值計算之殤
大家在編程過程中其實不斷在跟各種數值類型打交道，為什么沒有可以“一統江湖”的數值類型？目前還真沒有！
很多動態語言直接使用double(64位二進制浮點數)作為唯一數值，然並卵，立馬就會碰到下面經典的翻車案例，不信你打開編輯器測試下面公式：
0.1+0.2 竟然不等於 0.3，而是等於0.30000000000000004
如果使用整數類型int或long，碰到除法5/2竟然等於2，那更翻車翻的四腳朝天，因此一般通用計算必須采用浮點數就是這個道理，有誤差大家都知道，也就將就將就吧。
二、數值誤差難點
在有限的時間和空間約束下，計算機數值計算存在誤差主要在於三個方面：
（1）輸入時進制表達誤差：前面的0.1是十進制小數，用二進制浮點數表示會是個無限循環形式，只能截除尾數導致誤差。這是最無奈的，一輸入就是不精確。那么使用decimal(128位十進制浮點數)就沒有這個問題，但是十進制常規CPU不支持，計算速度慢十幾倍，大家也不大願意用，除了金融系統實在沒辦法。
（2）計算過程的分數運算誤差：除法運算可能產生不可規約分數，用小數點表達就是無限循環形式，必須截除尾數，上面的進制轉換誤差本質上也是分數導致的問題。該問題采用decimal十進制浮點數也沒用，只有使用分數形式才能准確表達，那么需要增加一倍存儲和接近四倍計算時間的開銷。
（3）計算過程的無理數運算誤差：類似PI、E、Sqrt、Log、Exp、Sin、Cos、等運算，都可能產生無理數，用小數表達就是無限不循環的形式，真是不死不休，一輩子也算不完！那些超算中心專門為了計算PI都使用高能計算機，還是算不完，這是用啥進制都沒用，用分數也不行。這也是分數表達不受待見的原因，你搞半天，碰到無理數運算，誤差立馬要算總賬，沒法控制。
無理數運算隨時存在，目前還沒有很好的解決方案，多數只能采用更高精度的浮點數如quad(128位二進制浮點數)、甚至bigfloat(可指定任意位數精度的二進制浮點數)，但帶來存儲和計算時間增加的開銷也很大。
三、Shone.Math實數解決方案
Shone.Math實數有針對性解決了大部分上述問題，填了很多坑，盡量做到易用性、性能等各方面平衡。各位有興趣可以到開源項目地址，下載dll試用或代碼研究一下，有BUG、問題或建議可以在上面直接提出來，也可以pull參與項目代碼完善和實現。
Shone.Math實數把數值分為幾類，並通過類型派生進行表達和計算重載：
（1）可二進制有效表達的浮點數：結果值是有限不循環的二進制整數或小數，可使用1個double數值（如2.5r，與常規數值相同），放在基類Real中進行表達和計算；
（2）分子分母均可二進制有效表達的分數：結果值是無限循環的二進制浮點數，需要采用2個double數值的分數形式（如3\5r，采用反斜杠表示分子分母是一個整體），放在派生類Ration中進行表達和計算；
（3）可間接包含分數系數的各類無理數：結果值是無限不循環的二進制浮點數，但是可以針對常用的部分無理數采用專門的間接表達形式如下，基類為Irration，每個間接無理數都采用2個double數值的分數形式。
a）PI無理數：IrrationPI，如3\5pi，間接表示3/5*PI的計算值；
b）E無理數：IrrationE，如3\5e，間接表示3/5*PI的計算值；
c）Sqrt無理數：IrrationSqrt，如3\5sqt，間接表示sqrt(3/5)的計算值；
d）Sqrd無理數：IrrationSqrd，如3\5sqd，間接表示(3/5)*(3/5)的計算值；
e）Xp無理數：IrrationXp，如3\5xp，間接表示pow(10,3/5)的計算值；
f）Exp無理數：IrrationExp，如3\5exp，間接表示pow(E,3/5)的計算值；
g）Pow無理數：IrrationPow，如3\5pow，間接表示pow(3,5)的計算值；
h）Log無理數：IrrationLog，如3\5ln，間接表示底數為E的ln(3/5)計算值；
i）Log10無理數：IrrationLog10，如3\5lg，間接表示底數為10的lg(3/5)計算值；
j）Logx無理數：IrrationLog，如3\5log，間接表示底數為3的log(3, 5)計算值；
注意，上述有些間接無理數是互補運算（如sqrd與sqrt、xp與log10、exp與log等），如果兩個一起會消解，從而保持計算過程的精確性。
（4）其他無法間接表達的無理數：在計算過程中只要碰到這種類型，比如Sin、Cos三角函數等計算結果還是無理數時只能截斷尾數，轉化為第一類可二進制有效表達的浮點數，仍是Real表達。
四、Shone.Math實數解決問題
Shone.Math的Real實數類型設計和實現上盡量做到精度、性能和存儲各方面的平衡考慮，在有限的時間和空間內，可以有效減少計算機數值計算誤差。
（1）消除了輸入時進制表達誤差：0.1將被轉化為1\10r的分數表示，沒有進制轉換問題。
（2）消除了計算過程的分數運算誤差：支持純正的分數運算也沒有誤差。
（3）減少計算過程的無理數運算誤差：大量常用的PI、E、Sqrt、Log、Exp等無理數運算采用間接形式表達，直到實在無法間接表達時再截尾處理產生誤差，但總體上將大大減少常規計算的總體誤差。
當然無理數運算誤差不可能徹底解決，Shone.Math只是提出了一個可行的實現方法，具體好壞還有待在實際應用中考證。
五、Shone.Math實數Real使用方法
Shone.Math只有一個dll文件，除了.NET5系統外無任何外部依賴。注意：Shone.Math支持.NETCore3.1/5.0以上版本，一方面是擁抱未來向前看，另一方面是開始時發現.NET4和.NET5差好多內容，如MathF類,Math.Asinh,Acosh,Atanh,還有各種Span<T>,Memory<T>等高級類型，這也符合.NET5一統江湖的趨勢。
1、安裝Visual Studio 2019
更新到最新版，在選項設置中打開.net 5 preview支持。
2、下載nuget包或github代碼
Nuget包：https://www.nuget.org/packages/Shone.Math/1.0.7
源代碼：https://github.com/shonescript/Shone.Math/releases
3、引用nuget包或Shone.Math.dll到你的項目中
4、添加命名空間using Shone;
5、愉快地使用實數常量、方法
using Shone; // import Shone namespace
var d = Real.PI*3; // result is 3pi of IrrationPi
var x = 5.ToReal().Pow(3); // write in dot style
var ds = new double[]{5, 6, 7}.ToReal().Pow(3); // calculate array easily
6、Real也支持作為Math<T>計算
7、注意：Real只有基類對外暴露方法，其他派生類只能在計算過程中自動產生，比如進行Sqrt()時，如果結果可以間接表達，就會產生如3\5sqrt之類的IrrationSqrt無理數，使用時可以體會一下。
六、Real類型的不足之處
前面也說了，Shone.Math的Real類型解決了輸入和過程的分數誤差，但沒有徹底消除無理數誤差，只是進行推遲和消解，要進行等值判斷時其精度還只能與double類似。
Real類型設計為class，對大量數值計算而言，會產生堆上內存分配和相關GC，對性能有影響。我最早采用的是struct，但需要1個計算結果、2個double分子分母、還有1個byte的標記，占用存儲太大，而且有好多判斷，不容易調試。最終經過權衡使用現在的方案。
七、小結
基於.NET 5的開源項目Shone.Math，通過各種精巧實現，提供了統一的泛型數值計算靜態類Math<T>和實數類型Real，為開發各類自定義數值、幾何、空間、公式解析等泛型和高精度數值應用打下了堅實基礎。本系列下一章節將介紹Shone.Math的一些.NET5專用高級特性如ref, Span, Memory的泛型數值計算擴展。
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