如何理解卷積？

一、兩個隨機變量的函數分布

卷積這個概念最早是在概率論兩個隨機變量函數分布中引入的

 

教科書上通常會給出定義，給出很多性質，也會用實例和圖形進行解釋，但究竟為什么要這么設計，這么計算，背后的意義是什么，往往語焉不詳。

我們的疑惑點在於卷積公式到底是怎么卷的，怎么積的？

直接從數學公式上推測，先對f_y函數進行翻轉，相當於在數軸上把f_y函數從右邊褶到左邊去，也就是卷積的“卷”的由來。

然后再把f_y函數平移到z，在這個位置對兩個函數的對應點相乘，然后相加，這個過程是卷積的“積”的過程。當然，還是很難想象這個過程，這里推薦花費一點時間觀看一下

這樣看來 所謂兩個函數的卷積，本質上就是先將一個函數翻轉，然后進行滑動疊加。

二、卷積在圖像處理上的應用

這里舉我比較熟悉的計算機圖形學上進行圖像平滑處理的例子。內容轉載自 https://www.matongxue.com/madocs/32.html

1 原理

有這么一副圖像，可以看到，圖像上有很多噪點：

高頻信號，就好像平地聳立的山峰：

看起來很顯眼。

平滑這座山峰的辦法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周圍去。用數學的話來說，就是把山峰周圍的高度平均一下。

平滑后得到：

2 計算

卷積可以幫助實現這個平滑算法。

有噪點的原圖，可以把它轉為一個矩陣：

然后用下面這個平均矩陣（說明下，原圖的處理實際上用的是正態分布矩陣，這里為了簡單，就用了算術平均矩陣）來平滑圖像：

記得剛才說過的算法，把高頻信號與周圍的數值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑 點，就在矩陣中，取出 點附近的點組成矩陣 ，和 進行卷積計算后，再填回去：

要注意一點，為了運用卷積， 雖然和 同維度，但下標有點不一樣：

我用一個動圖來說明下計算過程：

寫成卷積公式就是：

要求 ，一樣可以套用上面的卷積公式。

這樣相當於實現了 這個矩陣在原來圖像上的划動（准確來說，下面這幅圖把 矩陣旋轉了 ）：