怎樣理解傅立葉變換和卷積

傅立葉變換

先看連續和離散系統的公式：

\[F(w)=\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)e^{-iwt}dt=\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)(\cos wt-i\sin wt)dt \tag{1} \]

\[F(w)=\sum^{+\infty}_{t=-\infty}f(t)(\cos wt-i\sin wt) \tag{2} \]

其中利用了歐拉公式：$$e^{iwt}=\cos wt+i \sin wt$$

看最簡單的\(f(t)=1,-1\leq t\leq 1\)，得到

\[F(w)=\int_{-1}^{1}(\cos wt-i\sin wt)dt=\frac{1}{w}[\sin wt+i\cos wt]|_{-1}^{1}=\frac{2}{w}\sin w \tag{3} \]

也就是說，其頻譜為\(F(w)=\frac{2}{w}\sin w\)，幅度為\(|F(w)|=|\frac{2}{w}\sin w|\)。

意思就是如下圖，原圖源自韓昊：

一維卷積

還是先是公式：

\[(f*h)(t)=\int^{t}_{-\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau \tag{4} \]

什么意思呢？其中\(h(t)\)是系統對單位沖激函數\(\delta(t=0)\)的響應，該響應將持續對系統的輸出做出貢獻。如圖。

在\(t=0\)時刻，沖激函數的幅值為\(f(0)\)，那么系統對它的響應就是\(f(0)h(t)\)，該響應在時刻\(t\)的值為：

\[s(t)=f(0)h(t) \]

事實上，在\(t\)時刻之前的任一時刻\(\tau\)，系統中均有輸入\(f(\tau)\)，對應的沖激響應為\(f(\tau)h(t-\tau)\)，那么對\(t\)時刻之前的所有時刻\(\tau\)進行積分，得到式\((4)\)。如圖：

圖解法求卷積

對函數\(g\)依次做反褶，平移t，計算在不同\(t\)下，兩個函數曲線所圍的面積(下圖中如果f(0)=2呢，是否還是面積?所以有系數的哈，這個只能確認積分區間)。

卷積的計算機算法

計算卷積的算法是"不進位乘法"，如下圖所示(計算機編程的算法，與上述圖解法一樣的)：

二維卷積

與一維卷積的滑窗類似，二維卷積也用滑窗進行計算。廣泛用在圖像處理領域。

以下內容轉自CSDN博客

算法：對矩陣A,B進行卷積：conv2(A,B)，其中A為圖像矩陣，B為卷積核。

1. 對矩陣A補零。如圖。
   

2. 將卷積核B分別沿行方向和列方向進行反褶(相當於沿中心旋轉180°)。如圖。
   

3. 滑動滑窗，將卷積核的中心位於圖像矩陣的每個元素，求滑窗內兩矩陣點積(按元素乘)之和。如圖。
   

在圖像處理中，卷積常用於對圖像模糊處理，邊緣檢測，產生軋花效果等。
在深度學習中，卷積在卷積網絡中發揮作用。