卷積理解與思考

1 卷積的思維原形

　　對於具有線性和時不變性的連續時間系統或者離散時間系統，我們在進行信號處理的時候，一個基本的思路就是將原始的時間信號分解成一組基本信號。但問題是我們如何選擇一組基本信號，很顯然的一點就是我們選擇的基本信號要有利於我們后續進行信號分析。為此，產生了兩種信號的分解方式：一類是將輸入信號分解成復指數（complex exponential）的線性組合，這種方式對應於傅里葉變換(FT)；另一類則是將信號分解成一系列延時脈沖的線性組合，這種方法對應於卷積(convolution)，下面我們通過一個例子演示下這種分解方式是如何工作的。

　　給定如下離散時間信號，記為 x[n]

　　我們可以將其將分解為如下加權延脈沖

　　將上述以各個單位延時脈沖為基(基礎序列)建立起來的信號組合起來，就得得到原始的信號 x[n] ，即有

x[n]=x[−1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[2]δ[n−2]=∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k]

　　仔細觀察上面的求和公式，不就是常見的卷積公式嗎？借助線性代數中“基”的思想，我們簡單理解下上面這個公式(純屬個人理解)：線性代數帶給我們的一個重要的思考方式就“基”，如我們通過選定一組基向量，如 [0,0,1] 、 [0,1,0] 和 [1,0,0] ，我們可以表示歐式三維空間中的任何一點。同理，我們可以將信號 x[n] 看做是由 t=−1 、 t=0 、 t=1 和 t=2 這4個獨立時刻處的4個小離散信號組成，而對這4個小離散信號，又可以進一步分解為某個單位延時脈沖(如 δ[n−1] )，也就是我們在這里選定的”基”和一個加權系數(如 x[1] )的乘積(類似線性代數中的數乘)。

2 卷積的定義與性質

　　在離散情形下定義為

x[n]=∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k]

　　或者　

y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=x[n]∗h[n]

　　連續情形下定義為 x(t)=∫+∞−∞x(τ)δ(t−τ)dτ 或者 y(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ=x(t)∗h(t)

​　　具有如下三個性質：

​　　(1)交換律: x[n]∗h[n]=h[n]∗x[n] 或者 x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t)

​　　(2)結合律: x∗{h1∗h2}={x∗h1}∗h2

　　(3)分配率: x∗{h1+h2}=x∗h1+x∗h2

​　　交換律為我們提供了一種逆向思維，或者叫正難則反的思考方式；而分配率則是為我們提供了一種分解問題的思維，或者叫降維的思考方式。注意，關於分配率和結合律的說明同時適用於離散情形和連續情形，就像在交換律中展示的那樣，這兒采用這種方式只是為了簡潔的表示而已，不代表這兩個性質不重要。

3 卷積計算的數學理解

​　　以一維卷積為例進行理解，一維卷積的定義為
​　　

x[n]∗h[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]

​　　可以看做是一個含參積分參數當然是n了。先從數學上理解右邊的內容，首先原始信號是 h[k] ，經過對稱變換得到 h[−k] ，這一步就是對應於信號的反轉了，然后平移 n 個單位得到信號 h[n−k]=h[−k+n] ,這個積分呢就是對於每一個 n 所確定的 x[n] ， h[−k+n] 的對應部分做內積，因為這是離散的序列(即使是連續的信號，通過極限思維仍可將其視為離散的)，可以將其視作兩個向量之間的內積，這個內積的結果就是對應的該 n 處的數值了。

4 卷積運算的物理意義

​　　對於卷積中信號的反轉可以這樣來理解，一般我們取x軸正向為右邊，即時間流逝的方向，但是也可以取左邊為時間流逝的方向啊，對吧。這樣取左邊為時間流逝的方向的話，我們向右移動信號恰好可以讓信號按照時間順序划過卷積核，也就是我們定義的系統了。

　　卷積的物理意義應該是信號反轉之后在卷積核上滑動進行操作，而images中的濾波卻是卷積核在圖像上滑動，這是因為卷積交換律的強勢存在，為我們提供了一個轉化問題的思維方式，有點像正難則反。