2020-05-22
所有背包問題實現的例子都是下面這張圖
01背包實現之——窮舉法：
1.我的難點：
（1）在用窮舉法實現代碼的時候，我自己做的時候認為最難的就是怎么將那么多種情況表示出來，一開開始想用for循環進行多次嵌套，但是太麻煩，而且還需要不斷的進行各種標記。我現在的水平實在太菜，然后就在一篇博文中看到一個特別巧妙的枚舉算法,如下所示：
int fun(int x[n])
{
int i;
for(i=0;i<n;i++)
if(x[i]!=1) {x[i]=1; return;}
//從遇到的第一位開始，若是0，將其變成1，然后結束for循環，得到一種解法
else x[i]=0;
return;
//從第一位開始，若是1，將其變成0，然后繼續循環，若再循環的時候遇到0，則將其變為1，結束循環。得到另一種解法。
}
雖然我現在也不知道為什么會這樣，但是確實是個很好的規律，找到這個規律后，就可以很輕松的自己寫出各種排列情況，以后遇到排列的問題，就用這個方法。語言不好描述，上圖片演示（是歪的，湊活看吧。。。）：
（2）算法思想：
x[i]的值為0/1，即選或者不選
w[i]的值表示商品i的重量
v[i]的值表示商品的價值
所以這個算法最核心的公式就是
tw=x[1]*w[1]+x[2]*w[2]+.......+x[n]*w[n]
tv=x[1]*w[1]+x[2]*v[2]+......+x[n]*v[n]
tv1:用於存儲當前最優解
limit:背包容量
如果 tw<limit&&tv>tv1 則可以找到最優解
2.代碼實現（借鑒博文）
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define n 4
void possible_solution(int x[n]){
int i;
for(i=0;i<4;i++) //n=4,有2^4-1種解法
if(x[i]!=1)
{
x[i]=1;
return; //從遇到的第一位開始，若是0，將其變成1，然后結束循環，得到一種解法
}
else
x[i]=0;
return;//從第一位開始，若是1，將其變成0，然后繼續循環，若再循環的時候遇到0，則將其變為1，結束循環。得到另一種解法。
}
int main(){
int count=0;
int w[n]={2,3,4,5},v[n]={3,4,5,6};
int x[n]={0,0,0,0},y[n]={0,0,0,0};
int tw,tv,tv1=0,limit=8;
int j;
for(j=1;j<=15;j++){
possible_solution(x);
count++;
for(int i=0;i<4;i++){
cout<<x[i]<<" ";
}
cout<<endl;
tw=x[0]*w[0]+x[1]*w[1]+x[2]*w[2]+x[3]*w[3];
tv=x[0]*v[0]+x[1]*v[1]+x[2]*v[2]+x[3]*v[3];
if(tw<=limit&&tv>tv1){
tv1=tv; y[0]=x[0];y[1]=x[1];y[2]=x[2],y[3]=x[3];
}
}
cout<<"共有"<<count<<"種解法."<<endl;
printf("其中0-1背包問題的最優解為： y=(%d,%d,%d,%d)\n",y[0],y[1],y[2],y[3]);
printf("總價值為：%d",tv1);
}
3.運行結果：
4.復雜度分析
n個物品的話，就有2^n-1種解，所以其時間復雜度為O(2^n)
01背包問題之——貪心算法：
1.算法思路：
取單位價值量最大的那個物品先裝入背包。所以還算好實現，得到每一個物品的價值量之后，查找最大的價值量的坐標，判斷這個坐標額物品體積是否小於背包的容量，若小於，則裝入背包。否則，繼續循環。
2.代碼實現 法一：
將得到的每個物品的價值量進行排序，得到一個遞減序列。
#include<iostream>
#include <iomanip>
#define n 4 //物品數列
#define c 8 //背包容量
using namespace std;
int w[4]={2.0,3.0,4.0,5.0};
float v[4]={3.0,4.0,5.0,6.0};
float sortBest[4]; //v[i]/w[i]
int C(){
for(int i=0;i<4;i++){
sortBest[i]=v[i]/w[i];
//cout<<sortBest[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int Sort(){
for(int i=0;i<4;i++)
{
int temp;
int wtemp;
int vtemp;
if(sortBest[i+1]>sortBest[i])
{
temp=sortBest[i];
sortBest[i]=sortBest[i+1];
sortBest[i+1]=temp;
wtemp=w[i];
w[i]=w[i+1];
w[i+1]=wtemp;
vtemp=v[i];
v[i]=v[i+1];
v[i+1]=vtemp;
}
//用來查看排序是否正確
cout<<"w["<<i<<"]="<<w[i]<<" ";
cout<<endl;
cout<<"v["<<i<<"]="<<v[i]<<" ";
cout<<endl;
cout<<"sortBest["<<i<<"]="<<sortBest[i]<<endl;
}
cout<<endl;
}
int F(){
int c1=c;
int result=0;
for(int i=0;i<4;i++){
if(w[i]<=c1)
result=result+v[i];
c1=c1-w[i];
}
cout<<"最優值是："<<result;
}
int main()
{
C();
cout<<"背包重量是："<<c<<endl;
Sort();
F();
return 0;
}
代碼實現 法二：
沒有對每個商品的價值量進行排序，直接查找當前價值量的最大值，判斷其是否能夠裝入背包，若能，直接裝入，令當前價值量為0，繼續尋找第二大價值量，不斷循環即可。代碼如下：
#include<iostream>
#include <iomanip>
#define n 4 //物品數列
#define c 8 //背包容量
using namespace std;
float w[4]={2.0,3.0,4.0,5.0};
float v[4]={3.0,4.0,5.0,6.0};
float sortBest[4]; //價值量 v[i]/w[i]
int C(){
for(int i=0;i<4;i++){
sortBest[i]=v[i]/w[i];
//cout<<sortBest[i]<<" ";
}
}
int F()
{
float temp=0;
float result=0;
float c1=8; //用於改變c的值
for(int i=0;i<4;i++)
{
//for循環用來得到最大sortBest
for(i=0;i<4;i++)
{
if(temp<sortBest[i])
temp=sortBest[i];
}
//cout<<"max(sortBest)="<<temp<<endl;
for(i=0;i<4;i++)
{
if (temp==sortBest[i])
//cout<<"最大sortBest的下標是："<<i<<endl;
sortBest[i]=0;
if (w[i]<=c1)
result=result+v[i];
c1=c1-w[i];
}
}
cout<<"結果為："<<result<<endl;
}
int main()
{
cout<<"********貪心算法解決01背包問題,誰的sortBest=v[i]/w[i] 大，就先拿誰***********"<<endl;
cout<<"背包的總重量是:"<<c<<endl;
cout<<"可挑選的物品共4件"<<endl;
cout<<endl;
for(int i=0;i<4;i++)
{
cout<<"w["<<i<<"]="<<w[i]<<" ";
cout<<"v["<<i<<"]="<<v[i]<<" ";
cout<<"sortBest["<<i<<"]="<<v[i]/w[i]<<" ";
cout<<endl;
}
C();
F();
return 0;
}
3.遇到的困難
就是，當得到的價值量的包含小數時，而且剛好就靠小數部分區分大小時（比如1.5 ，1.33，）。c++正常輸出的結果都是整數。
解決辦法就是，將每個物品的價值量（3.0,4.0）和背包重量（2.0,3.0）都變float類型，注意定義的時候，也需要定義為float類型
4.復雜度：
時間復雜度：O(n)
01背包問題之——動態規划
1.算法思想
最重要的就是尋找遞推關系式：
定義V[i,j]:當背包容量為j時，前i個物品最佳組合對應的值。
遞推關系：
（1）當背包的容量不允許裝入第i件物品時，和前一個物品裝入背包一樣。即 ：V[i][j]=V[i-1][j]
（2）當背包的容積可以裝入第i件物品時，分兩種情況，A裝入第i件物品不是最優，還不如不裝。B裝入第i件物品是最優。即:V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i][j-w[i]]+v[i])
2.代碼實現：
#include<iostream>
using namespace std;
int w[5]={0,2,3,4,5};
int v[5]={0,3,4,5,6};
int V[5][9];
int c=8;
int B()
{
int i,j;
for(i=0;i<5;i++)
{
V[i][0]=0;
for(j=0;j<c+1;j++)
{
V[0][j]=0;
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
int main(){
B();
//顯示填好的表格
for (int i=0;i<5;i++)
{
for(int j=0;j<9;j++)
{
cout<<V[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"最優結果是："<<V[4][8];
return 0;
}
下面是帶上回溯找出解的組成的代碼：
#include<iostream>
using namespace std;
int w[5]={0,2,3,4,5};
int v[5]={0,3,4,5,6};
int V[5][9];
int c=8;
int item[4];
int B()
{
int i,j;
for(i=0;i<5;i++)
{
V[i][0]=0;
for(j=0;j<c+1;j++)
{
V[0][j]=0;
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
void FindWhat(int i,int j)//尋找解的組成方式
{
if(i>=0)
{
if(V[i][j]==V[i-1][j])//相等說明沒裝
{
item[i]=0;//全局變量，標記未被選中
FindWhat(i-1,j);
}
else if( j-w[i]>=0 && V[i][j]==V[i-1][j-w[i]]+v[i] )
{
item[i]=1;//標記已被選中
FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到裝包之前的位置
}
}
}
int main(){
B();
//顯示填好的表格
cout<<"得到的表格如下圖所示："<<endl;
for (int i=0;i<5;i++)
{
for(int j=0;j<9;j++)
{
cout<<V[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"最優結果是："<<V[4][8]<<endl;
FindWhat(4,8);
cout<<endl;
cout<<"回溯得到的解是："<<endl;
for(int i=1;i<5;i++){
if(item[i]==1)
cout<<"背包里面有第"<<i<<"號物品"<<endl;
//cout<<item[i]<<" ";
}
return 0;
}
3.復雜度
時間復雜度：
O(物體個數*背包容積)=O(number*capacity)
空間復雜度：
用二維表實現的，所以和時間復雜度一樣。
O(物體個數*背包容積)=O(number*capacity)
01背包之——遞歸
1.
遞歸法思路很單一，也是在遞歸方程的基礎上，將其改造為可以遞歸的方式
2.代碼演示
#include<iostream>
using namespace std;
int n=4;
int w[4]={2,3,4,5};
int v[4]={3,4,5,6};
int y[4]={0,0,0,0};
int c=8;
int f(int n,int c)
{
int temp1;
int temp2;
if(n==0||c==0) {
return 0;}
else
{
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
if(w[i]>c)
{
return f(n-1,c);
}
else
{
temp1=f(n-1,c);
temp2=f(n-1,c-w[i])+v[i];
if(temp1>temp2)
{
return temp1;
}
else if(temp1<temp2)
{
return temp2;
}
}
}
}
}
int main()
{
cout<<"最優值為："<<f(4,8)<<endl;
return 0;
}
3.我的難點：
因為是遞歸，所以其最大的缺點就是重復計算，所以如果我想查找他的解是什么，不容易查找。因為如果你進行標記的話，因為會重復計算，所以標記的話，標記也是不停的會變。所以我也不知道怎么解決。
4.復雜度：
O（2^n）
01背包之——回溯