1. 知識回顧
（1）經典時域分析方法
線性時不變（LTI）系統是最常見最有用的一類系統，描述這類系統的輸入-輸出特性的是常系數線性微分方程。
\[\begin{array}{l}
{y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = \\
{b_m}{f^{(m)}}(t) + {b_{m - 1}}{f^{(m - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {b_1}{f^{(1)}}(t) + {b_0}f(t)
\end{array}\]
齊次解：${y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = 0$
特征方程：\[{\lambda ^n} + {a_{n - 1}}{\lambda ^{n - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {a_1}\lambda + {a_0} = 0\]
- 均為單根：\[{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}} \]
- 有重根（$r$重根）：\[{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{C_i}{t^{i - 1}}{e^{{\lambda _1}t}}} \]
- 共軛復根（${\lambda _{1,2}} = \alpha \pm j\beta $）：\[{e^{\alpha t}}({C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t)\]
- $r$重復根：\[{e^{\alpha t}}(\sum\limits_{i = 1}^r {{C_{1i}}{t^{i - 1}}} \cos \beta t + \sum\limits_{i = 1}^r {{C_{2i}}{t^{i - 1}}} \sin \beta t)\]
特解：
- $f(t) = {t^m}$
- 所有的特征根均不等於0：\[{y_p}(t) = {P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}\]
- 有$r$重等於0的特征根：\[{y_p}(t) = {t^r}[{P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}]\]
$f(t) = {e^{\alpha t}}$：
- $\alpha $不是特征根：\[{y_p}(t) = P{e^{\alpha t}}\]
- $\alpha $是特征單根：\[{y_p}(t) = {P_1}t{e^{\alpha t}} + {P_0}{e^{\alpha t}}\]
- $\alpha $是$r$重特征根：\[{y_p}(t) = ({P_r}{t^r} + {P_{r - 1}}{t^{r - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}){e^{\alpha t}}\]
- $f(t) = \cos \beta t$或$\sin \beta t$：
- 所有特征根均不等於$ \pm j\beta $：\[{y_p}(t) = {P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t\]
- $ \pm j\beta $是特征單根：\[{y_p}(t) = t[{P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t]\]
全解：\[y(t) = {y_h}(t) + {y_p}(t)\]
（2）零輸入響應與零狀態響應
\[y(t) = {y_{zi}}(t) + {y_{zs}}(t)\]
（3）沖激響應和階躍響應
\[\left\{ \begin{array}{l}
\delta (t) = \frac{{{\rm{d}}\varepsilon (t)}}{{{\rm{d}}t}}\\
\varepsilon (t) = \int_{ - \infty }^t {\delta (\tau ){\rm{d}}\tau }
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
h(t) = \frac{{{\rm{d}}g(t)}}{{{\rm{d}}t}}\\
g(t) = \int_{ - \infty }^t {h(\tau ){\rm{d}}\tau }
\end{array} \right.\]
（4）卷積積分
\[y(t) = {f_1}(t) * {f_2}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_1}(\tau ){f_2}(t - } \tau ){\rm{d}}\tau \]
系統的零狀態響應：\[{y_{zs}}(t) = f(t) * h(t)\]
卷積積分的性質：
- 交換律
- 分配率
- 結合律
任意函數與單位沖激函數卷積的結果仍是函數本身：\[f(t) * \delta (t) = f(t)\]
2. 利用MATLAB求LTI連續系統的響應
LTI連續系統以常微分方程描述，如果系統的輸入信號及初始狀態已知，便可以求出系統的響應。在MATLAB中，控制系統工具箱提供了函數lsim()，能對微分方程描述的LTI連續系統的響應進行仿真。該函數能夠繪制連續系統在指定的任意時間范圍內時域波形圖，還能求出連續系統在指定的任意時間范圍內響應的數值解。
- lsim(b,a,x,t);
a和b是描述系統的微分方程系數決定的表示該系統的兩個行向量，x和t是表示輸入信號的行向量（t表示輸入信號的時間范圍，x則表示在t定義的時間點上的輸入取樣值）。
$\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}y\left( t \right) + 2\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}y\left( t \right) + y\left( t \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}f\left( t \right) + 2f\left( t \right)$
$f\left( t \right) = 5{e^{ - 2t}}\varepsilon \left( t \right)$
求零狀態響應
a=[1,2,1];
b=[1,2];
p=0.01;
t=0:p:5;
f=5*exp(-2*t);
lsim(b,a,f,t);
ylabel('y(t)');
3. 利用MATLAB求LTI連續系統的沖激響應和階躍響應
- impulse(b,a);
- impulse(b,a,t);
- impulse(b,a,t1:p:t2);
- step(b,a);
- step(b,a,t);
- step(b,a,t1:p:t2);
$2\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}y\left( t \right) + \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}y\left( t \right) + 8y\left( t \right) = f\left( t \right)$
求沖激響應和階躍響應
b=1; a=[2,1,8]; subplot(1,2,1);impulse(b,a); subplot(1,2,2);step(b,a);
4. 利用MATLAB實現連續時間信號的卷積
- 對連續信號進行采樣，得到離散序列；
- 構造與輸入離散序列相對應的時間向量；
- 調用conv()函數計算卷積積分；
- 構造與輸出序列對應的時間向量。
function [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)
%計算連續信號卷積積分復f(t)=f1(t)*f2(t)
%f：卷積積分f(t)對應的非零樣值向量
%k：f(t)的對應時間向量
%f1：f1(t)對應的非零樣值向量
%f2：f2(t)對應的非零樣值向量
%k1：f1(t)的對應時間向量
%k2：f2(t)的對應時間向量
%p：取樣時間間隔
f=conv(f1,f2);
f=f*p;
k0=k1(1)+k2(1);
k3=length(f1)+length(f2)-2;
k=k0:p:k3*p;
subplot(2,2,1);plot(k1,f1);title('f1(t)');xlabel('t');ylabel('f1(t)');
subplot(2,2,2);plot(k2,f2);title('f2(t)');xlabel('t');ylabel('f2(t)');
subplot(2,2,3);plot(k,f);h=get(gca,'position');
h(3)=2.5*h(3);set(gca,'position',h);title('f(t)=f1(t)*f2(t)');
xlabel('t');ylabel('f(t)');
end
p=0.005; k1=0:p:2; f1=0.5*k1; k2=k1; f2=f1; [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p);
conv()函數本來是用來做多項式乘法的。
w = conv(u,v)w = conv(u,v,shape)
$({x^2} + 1)(2x + 7) = 2{x^3} + 7{x^2} + 2x + 7$
shape：
- 'full'：完整的卷積(默認)；
- 'same'：與u相同大小的卷積的中心部分；
- 'valid'：只有那些計算卷積時沒有在邊緣填充0的部分。