Cholesky 分解是把一個對稱正定的矩陣表示成一個下三角矩陣L和其轉置的乘積的分解。
它要求矩陣的所有特征值必須大於零，故分解的下三角的對角元也是大於零的。
Cholesky分解法又稱平方根法，是當A為實對稱正定矩陣時，LU三角分解法的變形。
通過直接比較A=L*L^T兩邊的對應元素來計算L，其中L^T為L的轉置。
思路如下：
L為一實下三角矩陣，求L的步驟如下：
1、Amn = Lm1*Ln1 + Lm2*Ln2 + ... + Lmx*Lnx其中x = min(m,n)
2、Umn = Amn - sum(Lmk*Lnk) 其中k ~ (0, min(m,n))，Umn包含Lmn*Lnn
3、當m < n時，由於是下三角矩陣，所以Umn為0，僅求m >= n的情況
4、如果 m == n 時 Lmn = sqrt(Umn)，否則，Lmn = Umn / Lnn
5、即求出Lmn的值
根據此思路的代碼實現如下：
public class MyCholeskyDecomposition {
/**
* 2.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
* 0.5000000000 1.3228756555 0.0000000000
* 0.5000000000 2.0788046016 1.1952286093
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
double[][] A = {{4.,1.,1.},{1.,2.,3.},{1.,3.,6.}};
double[][] L = new double[3][3];
for(int m = 0; m < A.length; m++){
for(int n = 0; n <= m; n++){
L[m][n] = A[m][n];
for(int k = 0; k < n; k++){
L[m][n] -= L[m][k] * L[n][k];
}
if(m == n){
L[m][n] = Math.sqrt(L[m][n]);
}else{
L[m][n] = L[m][n] / L[n][n];
}
}
for(int x = m + 1; x < A.length; x++){
L[m][x] = 0.0;
}
}
for(int i = 0; i < L.length; i++){
for(int j = 0; j < L.length; j++){
System.out.print(L[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
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