由於這學期修了矩陣分析這門課，課程要求用matlab實現矩陣的5種分解，僅僅是實現了分解，上傳到博客存檔，萬一哪天某位同學就需要了呢。。
1.矩陣的滿秩分解
- 代碼實現
1 %矩陣的滿秩分解 2 clear 3 %設輸入矩陣為M（P152 例4.1.1） 4 A = [1,4,-1,5,6; 5 2,0,0,0,-14; 6 -1,2,-4,0,1; 7 2,6,-5,5,-7] 8 A1 = rref(A); %將矩陣A化成行最簡形式保存在A1中 9 [m,n]=size(A); %獲取矩陣A的大小：m行n列 10 B0= [];%生成一個空向量 11 C0= [];%生成一個空向量 12 for i=1:m %依次掃描矩陣m行 13 flag=1; 14 for j=1:n %依次掃描矩陣n列 15 if A1(i,j)==1 %若A1(i, j)等於1 16 for k=1:i-1 %固定j列，掃描此列的第1行到i-1行元素 17 if A1(k,j)~=0 %判斷是否全為0 18 flag=0; %若不全為0，則將flag置為0（說明此列不是單位矩陣的列） 19 break; 20 end 21 end 22 for k=i+1:m %固定j列，掃描此列的第i+1行到m行（即最后一行）元素 23 if A1(k,j)~=0 %判斷是否全為0 24 flag=0; %若不全為0，則將flag置為0（說明此列不是單位矩陣的列） 25 break; 26 end 27 end 28 if flag==1 %若flag為1（不為0），則說明此列是【矩陣的行最簡形式矩陣】的單位矩陣的列 29 B0=[B0,A(:,j)]; %將矩陣A的j列加到B0列向量之后 30 C0=[C0;A1(i,:)]; %將矩陣A1的i行加到C0行向量之后， 31 end 32 end 33 end 34 end 35 [m1,n1]=size(B0); %獲取矩陣B0的大小：m1行n1列 36 [m2,n2]=size(C0); %獲取矩陣C0的大小：m2行n2列 37 B=B0(:,1:n1) %將矩陣B0的第1列到最后一列賦值給矩陣B 38 C=C0(1:m2,:) %將矩陣C0的第1行到最后一行賦值給矩陣C 39 %驗證：BC=A 40 A_1= B*C
2.矩陣的正交三角分解
- 代碼實現
直接調用matlab自帶qr()函數即可
1 %矩陣的正交三角分解 2 clear; 3 A = [-3,1,-2;1,1,1;1,-1,0;1,-1,1] 4 [Q, R] = qr(A) %正交三角分解，Q為酉矩陣，R為正交下三角矩陣 5 %驗證:QR是否為A，以及Q是否為酉矩陣 6 A_1 = Q * R 7 Q_1 = Q * conj(Q.')
3.矩陣的奇異值分解
- 代碼實現
1 %矩陣的奇異值分解 2 clear,clc 3 A = [1,1;0,0;1,1]; 4 [U,S,V] = svd(A) %返回一個與A同大小的對角矩陣S，兩個酉矩陣U和V，且滿足A= U*S*V~H。 5 %若A為m×n陣，則U為m×m陣，V為n×n陣。奇異值在S的對角線上，非負且按降序排列。 6 7 %驗證A=USV~H 8 A = [1,1;0,0;1,1] 9 A_1 = U*S*conj(V.')
4.矩陣的極分解
- 代碼實現
1 %矩陣的極分解 2 clear,clc; 3 A = [2,1,2;0,1,3;1,0,0]; 4 H1 = sqrtm(A*A') %返回矩陣的主要平方根
5 U1 = inv(H1)*A %求逆 6 A_1 = H1*U1 7 H2 = sqrtm(A) 8 U2 = A*inv(H2) 9 A_2 = U2*H2
5.矩陣的譜分解
以正規矩陣為例：
- 代碼實現
1 %矩陣的譜分解 2 clear,clc 3 A = [4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1]; %單純矩陣 4 %A = [-2i,4,-2;-4,-3i,-3i;2,-2i,-5i]; %正規矩陣 5 [V,D] = eig(A) %求特征值與特征向量 6
7 %正交歸一化 8 V_C = orth(V) ;%特征向量正交化 9 V_C_Z = V_C./repmat(sqrt(sum(V_C.^2,1)),size(V_C,1),1); %特征向量列歸一化 10
11 A_H = A * conj(A');%求A的共軛轉置
12 if A == A_H | A == -(A_H) %判斷是否是正規矩陣 13 [m,n] = size(V_C_Z); 14 G2 = zeros(m,n); 15 for i=1:n 16 G1 = V_C_Z(:,i) * conj(V_C_Z');
17 G2 = G2 + D(i, i) * G1; 18 end 19 G_Z = G2 20 else %否則是單純矩陣 21 P_1 = (inv(V))';
22 [m,n] = size(P_1); 23 G3 = zeros(m,n); 24 for i=1:n 25 G4 = V(:,i) * (P_1(:,i))';
26 G3 = G3 + D(i,i)* G4; 27 end 28 G_R = G3 29 end
PS：滿秩分解的參考地址記不住了，這里就不備注了，僅僅出於學習的目的，不喜勿噴。