C++動態規划01背包

動態規划01背包實現：

借鑒的這篇博文：

https://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html

題目：在背包容量為8的情況下，根據下圖的數據動態規划得到最優解，實現右圖所示的程序代碼

                         

 

 

 最重要的就是尋找遞推關系式：

定義V[i,j]:當背包容量為j時，前i個物品最佳組合對應的值。

遞推關系：

（1）當背包的容量不允許裝入第i件物品時，和前一個物品裝入背包一樣。即 ：V[i][j]=V[i-1][j]

（2）當背包的容積可以裝入第i件物品時，分兩種情況，A裝入第i件物品不是最優，還不如不裝。B裝入第i件物品是最優。即:V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i][j-w[i]]+v[i])

代碼實現：

#include<iostream>
 using namespace std;
 int w[5]={0,2,3,4,5};
 int v[5]={0,3,4,5,6};
 int V[5][9]; 
 int c=8;
 int B()
 {
 	int i,j;
 	for(i=0;i<5;i++)
	{
 		V[i][0]=0;
 		for(j=0;j<c+1;j++)
		 {
 			V[0][j]=0;
 			if(j<w[i])
 				V[i][j]=V[i-1][j];
			else
			 	V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		 }
	}
 }
int main(){
B();
//顯示填好的表格 
for (int i=0;i<5;i++)
{
	for(int j=0;j<9;j++)
	{
		cout<<V[i][j]<<"  ";
	}
	cout<<endl;
}
cout<<"最優結果是："<<V[4][8];
 	return 0;
 }

　　

　下面是帶上回溯找出解的組成的代碼：

 #include<iostream>
 using namespace std;
 int w[5]={0,2,3,4,5};
 int v[5]={0,3,4,5,6};
 int V[5][9]; 
 int c=8;
 int item[4];
 int B()
 {
 	int i,j;
 	for(i=0;i<5;i++)
	{
 		V[i][0]=0;
 		for(j=0;j<c+1;j++)
		 {
 			V[0][j]=0;
 			if(j<w[i])
 				V[i][j]=V[i-1][j];
			else
			 	V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		 }
	}
 }
void FindWhat(int i,int j)//尋找解的組成方式
{
    if(i>=0)
    {
        if(V[i][j]==V[i-1][j])//相等說明沒裝
        {
            item[i]=0;//全局變量，標記未被選中
            FindWhat(i-1,j);
        }
        else if( j-w[i]>=0 && V[i][j]==V[i-1][j-w[i]]+v[i] )
        {
            item[i]=1;//標記已被選中
            FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到裝包之前的位置
        }
    }
}

int main(){
B();
//顯示填好的表格 
cout<<"得到的表格如下圖所示："<<endl;
for (int i=0;i<5;i++)
{
	for(int j=0;j<9;j++)
	{
		cout<<V[i][j]<<"  ";
	}
	cout<<endl;
}
cout<<"最優結果是："<<V[4][8]<<endl;
FindWhat(4,8);
cout<<endl;
cout<<"回溯得到的解是："<<endl;
for(int i=1;i<5;i++){
if(item[i]==1) 
cout<<"背包里面有第"<<i<<"號物品"<<endl; 
//cout<<item[i]<<" ";
}
 	return 0;
 }

貼上結果便於理解：

 

時間復雜度：

O(物體個數*背包容積)=O(number*capacity)

空間復雜度：

用二維表實現的，所以和時間復雜度一樣。

 O(物體個數*背包容積)=O(number*capacity)