一、01背包
有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的價格（即體積，下同）是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。
這是最基礎的背包問題，總的來說就是：選還是不選，這是個問題<(￣ˇ￣)/
相當於用f[i][j]表示前i個背包裝入容量為v的背包中所可以獲得的最大價值。
對於一個物品，只有兩種情況
情況一: 第i件不放進去，這時所得價值為:f[i-1][v]
情況二: 第i件放進去，這時所得價值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
狀態轉移方程為：f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])
一道裸01背包題↓_↓
采葯
辰辰是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成為世界上最偉大的醫師。為此，他想拜附近最有威望的醫師為師。醫師為了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草葯的山洞里對他說：“孩子，這個山洞里有一些不同的草葯，采每一株都需要一些時間，每一株也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間里，你可以采到一些草葯。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓采到的草葯的總價值最大。”
如果你是辰辰，你能完成這個任務嗎？
輸入第一行有兩個整數T（1<=T<=1000）和M（1<=M<=100），用一個空格隔開，T代表總共能夠用來采葯的時間，M代表山洞里的草葯的數目。接下來的M行每行包括兩個在1到100之間（包括1和100）的整數，分別表示采摘某株草葯的時間和這株草葯的價值。
輸出包括一行，這一行只包含一個整數，表示在規定的時間內，可以采到的草葯的最大總價值。
70 3
71 100
69 1
1 2
3
【數據規模】
對於30%的數據，M<=10；
對於全部的數據，M<=100。
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int f[1001][1001]; int main() { int T, n,c[10001], v[10001]; scanf("%d%d", &T, &n); for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &c[i]); for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 0; j <= T; j++) f[i][j] = f[i-1][j]; for(int j = 0; j+v[i] <= T; j++) f[i][j] = max(f[i][j] + c[i], f[i-1][j+v[i]]); } int ans = 0; for(int i = 0; i <= T; i++) ans = max(ans, f[n][i]); printf("%d", ans); return 0; }
還可以用一維數組這樣寫↓_↓
設 f[v]表示重量不超過v公斤的最大價值， 則f[v]=max(f[v]，f[v-w[i]]+c[i]) ，當v>=w[i]，1<=i<=n 。
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxm = 2001, maxn = 101; int m, n; int w[maxn], c[maxn]; int f[maxm]; int main() { scanf("%d%d",&m, &n); //背包容量m和物品數量n for (int i=1; i <= n; i++) scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每個物品的重量和價值 for (int i=1; i <= n; i++) //設f(v)表示重量不超過v公斤的最大價值 for (int v = m; v >= w[i]; v--) //注意是逆序 f[v] = max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]); printf("%d\n",f[m]); // f(m)為最優解 return 0; }
二、完全背包
有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。
完全背包和01背包十分相像， 區別就是完全背包物品有無限件。由之前的選或者不選轉變成了選或者不選，選幾件。√
和01背包一樣，我們可以寫出狀態轉移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v)
還有一個簡單的優化↓_↓
當一個物品的價值小於另一個物品的價值，但是價格高於另一個物品，我們就可以不去考慮這個物品。即若兩件物品i、j滿足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，則將物品j去掉，不用考慮。我們為什么要買一個又貴又難吃的東西呢(╯▽╰)
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxm=2001,maxn=101; int n,m,v,i; int c[maxn],w[maxn]; int f[maxm]; int main() { scanf("%d%d",&m,&n); //背包容量m和物品數量n for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); for(i=1;i<=n;i++) for(v=w[i]; v<=m; v++) //設 f[v]表示重量不超過v公斤的最大價值 //這里是v++ 順序 區別於01背包 f[v]=max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]); printf("%d\n", f[m]); // f[m]為最優解 return 0; }
三、多重背包
有N種物品和一個容量為V的背包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。
這里又多了一個限制條件，每個物品規定了可用的次數。
同理，我們可以得出狀態轉移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*w[i]]+ k*c[i]|0<=k<=n[i])
一道例題↓_↓
慶功會
【問題描述】
為了慶賀班級在校運動會上取得全校第一名成績，班主任決定開一場慶功會，為此撥款購買獎品犒勞運動員。期望撥款金額能購買最大價值的獎品，可以補充他們的精力和體力。
【輸入格式】
第一行二個數n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望購買的獎品的種數，m表示撥款金額。 接下來n行，每行3個數，v、w、s，分別表示第I種獎品的價格、價值（價格與價值是不同的概念）和購買的數量（買0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。
【輸出格式】
第一行：一個數，表示此次購買能獲得的最大的價值（注意！不是價格）。
【輸入樣例】
5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1
【輸出樣例】
1040
先給出一個未優化的朴素算法
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int v[6002], w[6002], s[6002]; int f[6002]; int n, m; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]); for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = m; j >= 0; j--) for (int k = 0; k <= s[i]; k++) { if (j-k*v[i]<0) break; f[j] = max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]); } printf("%d\n",f[m]); return 0; }
進行二進制優化，轉換為01背包（拆分物品）
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int v[10001],w[10001]; int f[6001]; int n,m,n1; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) { int x,y,s,t=1; scanf("%d%d%d",&x,&y,&s); while (s>=t) { v[++n1]=x*t; w[n1]=y*t; s-=t; t*=2; } v[++n1]=x*s; w[n1]=y*s; //把s以2的指數分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，s-2^k+1, } for(int i=1;i<=n1;i++) for(int j=m;j>=v[i];j--) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); printf("%d\n",f[m]); return 0; }
以上就是三種基本的背包問題(*^__^*)
p.s.這里初學咸魚，如有錯誤歡迎各位大佬們指出~