一個 周期信號 分解為 若干個 正弦信號

一個 周期信號 分解為 若干個 正弦信號，   就是 傅里葉級數，  不過 我對 傅里葉級數 了解不多，  一方面 是 懶得去 細看， 一方面 也是 為了 保持 神秘感 。

 

我們把  一個 周期信號， 甚至 非周期信號，   記為   y =   Src ( t )  ，  也稱為  源信號  。

 

傅里葉級數 的 一般形式 可以 寫為 ：         Sin [ 1 ] + Sin [ 2 ] + Sin [ 3 ] + …… + Sin [ n ]    ,     n -> 無窮

 

Sin [ n ] =  An * sin ( ωn * t + ψn ) +  bn  ，         A 為 振幅，  ω 為 角速度，  t 為 時間，  ψ 為 初始相位，  b 為 增量，  n 為 項 的 序號（下標），   An 是 第 n 項 的 振幅，  ωn 是 第 n 項 的 角速度，  ψn 是 第 n 項 的 初始相位，  bn 是 第 n 項 的 增量  。

 

那么，   將 y = Src ( t )    展開 為 傅里葉級數 可以 這樣表示 ：

 

Src ( t ) =   Sin [ 1 ] + Sin [ 2 ] + Sin [ 3 ] + …… + Sin [ n ]         ，    n -> 無窮

 

只要 確定了 每一項 的  A 、ω 、ψ 、b ，    就 得到 源信號 對應 的 傅里葉級數 了  。

 

那么，   每一項 的  A 、ω 、ψ 、b  怎么 確定  ？

 

記  Sins ( t )  =  Sin [ 1 ] + Sin [ 2 ] + Sin [ 3 ] + …… + Sin [ n ]   ，   n -> 無窮

可以寫一個  定積分，       ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   ，    

[ t1, t2 ]  是 定積分 的 區間， 也是 源信號 的 區間，

 

 | Src (t) - Sins (t) |   表示  Src (t) - Sins (t)   的 絕對值   。

 

我們 只要 找出 讓     ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]       這個 定積分 的 值 等於 0 的 條件 就可以了  。

就是說，   我們要 為 每一項 找到 合適 的  A 、ω 、ψ 、b ，    使得      ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   =   0    。

這是一個 泛函 問題  。

 

  ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]       這個 定積分  的 意義是   Src (t)  和  Sins (t)   的 波形 的 差異 有多大，  若 這個 定積分 為 0， 則  Src (t)  和  Sins (t)  的 波形 完全相同   。

 

因為  Sins (t)  是 無窮級數，  由 n 個 項 組成，  n -> 無窮，   所以，  

 

  ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   =   0       (1) 式

 

也可以寫為      ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   ->   0       (2) 式

 

(1) 式 是 等於 0，   (2) 式 是 趨於 0    。

 

(1) 式 和 (2) 式  是 一個 泛函方程，  也是 一個 積分方程 。

(1) 式 (2) 式  的 解  是  每一項 的  A 、ω 、ψ 、b，   可以 寫成 矩陣 ：

 

A1 , ω1 , ψ1 , b1

A2 , ω2 , ψ2 , b2

A3 , ω3 , ψ3 , b3

……

An , ωn , ψn , bn

 

Oh  ……   終於 知道 矩陣 有什么用了  ……

 

一般的，  泛函 的 常見問題 是 求 最小積分條件，   所以，  (1) 式 (2) 式 還可以 寫成 ：

 

ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   ->   min         (3) 式

 

表示    ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]        趨於 最小，

 

(3) 式 和 (1) 式 (2) 式 的 意思 差不多  。       下面 我們 就以 (1) 式 為 代表 了   。

 

(1) 式 這個 泛函方程 要怎么解？          不知道 。         基本上， 這種 方程 已經 達到 無從下手 的 境界 了   。

 

是 什么 造成了 這種 妖怪方程 ？   數學 的 抽象  。

 

可以 對 (1) 式 作一些 簡化，   先把   Sins (t) 簡化為   Sins (t) = A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t )   ，

這個簡化 忽略了 ψ 和 b   。

於是，   (1) 式 變為 ：

 

ʃ  | Src (t) -  [ A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t ) ]  |   dt ,  [ t1, t2 ]  =   0

 

再簡化一點，  把 絕對值號 去掉，

 

ʃ  Src (t) -  [ A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t ) ]   dt ,  [ t1, t2 ]  =   0

 

積分 也 去掉 算了 ，

Src (t) -  [ A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t ) ]    =   0

A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t )  =  Src (t) 

 

現在 這 方程 能 解 了 嗎 ？   好像還不能，   那 把  sin ( ω1 t ) ,  sin ( ω2 t ) ,  ……   sin ( ωn t )    都 換成 常量  k1,  k2,  ……  kn，   把  Src (t)  也換成常量  S  ，

 

k1 A1 + k2 A2 + k3 A3 + ……  kn An = S     ，       A1 , A2,  A3 , …… An  為 未知數，    k1, k2, k3, …… kn  為 常數，    S 為 常數    (4) 式

 

這個 方程 能 解 了 嗎？      可以 進一步簡化，  讓 n 為 有限大 的 自然數  ，

 

k1 A1 + k2 A2 + k3 A3 + ……  kn An = S     ，       A1 , A2,  A3 , …… An  為 未知數，    k1, k2, k3, …… kn  為 常數，    S 為 常數，   n 為有限大的自然數    (5) 式

 

(5) 式 是 一個 n 元方程，   也是一個 不定方程，   也是一個 丟番圖 方程  。

 

(5) 式 方程 怎么解  ？     當然 (5) 式 有 無窮多個 解，   那 比如，  求 最小解，  比如  A1 + A2 + A3 + …… + An  的 和 最小 的 解  。

 

(4) 式 (5) 式 和 (1) 式  有 什么關系 ？        沒有關系，     但可以 通過 (4) 式 (5) 式 類比 看看 (1) 式  要 怎么解   。

 

那么，  要怎么來 求 得 傅里葉級數 呢 ？     可以 想點 辦法  。

 

比如，  先把 問題 簡化 為  求 第一項  Sin [1]  ，     可以 先 求出 一個 正弦信號，  波形 和 源信號 相差 最小，  這就是 Sin [1] ，   然后，  讓 源信號 減去 Sin [1] ， 得到 的 差 記為 z  ：

 

z =  Src (t) - Sin [1]

 

接下來 再 求 一個 正弦信號，  波形 和 z 相差 最小，  這就是 第二項  Sin [2] ，  然后，  讓  z = z - Sin [2]  ，   以此類推，  求  Sin [3] ,  Sin [4] ,  ……  , Sin [n]   。

 

先來看 怎么求 Sin [1] ，   和 上文 (1) 式  的 原理 一樣，    可以 寫一個 定積分 來 表示  源信號 和  Sin [1]  的 波形 差異 大小 ：

 

ʃ  | Src (t) -  Sin [1] | dt  ,     [ t1,  t2 ]

 

讓 這個 定積分 最小，

 

ʃ  | Src (t) -  Sin [1] | dt  ,     [ t1,  t2 ]    ->    min       (6) 式

 

(6) 式  就是 求  Sin [1]   的  泛函方程  。

 

因為   Sin [1] = A1 sin ( ω1 t + ψ1 ) + b1  ，   代入 (6) 式 ，

 

ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω1 t + ψ1 ) -  b1 | dt  ,     [ t1,  t2 ]    ->    min       (7) 式

 

對於   一些 簡單 、規則 的 周期信號， 比如 方波， 三角波，     這些 信號 作為 源信號 的 話，  可以 不考慮  ψ1 、b1 ，

同時， 顯然，   它們 的 基波 的 周期 和 它們 一樣，  即  ω1  就是 源信號 的 ω ，

於是 (7) 式 可以 簡化 為 ：

 

ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]    ->    min       (8) 式

 

ω 已知，  就是 源信號 的 ω ，       所以，   (8) 式 中 只有一個 待定系數  A1  ，    只要 求出 A1 就可以，   這樣的話，   可以試試 變分法，  看用 歐拉方程 能不能 解出來  。

 

但  歐拉方程 的 解 是 一個 函數，   這里 的 A1 是 一個 系數，  是 常量，  這就 尷尬 了，  呵呵呵呵 。  這兩者（函數 和 常量） 的 矛盾 能不能 調和 ？  期待 數學天才們 的 表演，  拭目以待 。

 

我們 可以 畫 一個 圖 把 上面 的 過程 形象 的 表示出來 ：

 

 

 

 

藍色 三角波 是 源信號，    紅色 正弦波 是 基波，  也就是 傅里葉級數 的 第一項  Sin [1]  ，    紅線 和 藍線 之間 用 綠線 標出 的 區域 就是 兩者 波形 的 相差，  綠線 標出 的 區域 面積 大，  則 兩者波形 相差 大，   面積小， 則 波形相差小 。

 

綠線 標出 的 區域 面積 就是 定積分   ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]     ，   (8) 式 就是 讓 這個 面積 最小 。

 

如圖，  在這個 場景 里，  我們 只要 確定 A1，  使得 綠線 標出 的 區域 面積   最小 就可以  。

 

上文 提到 可以 考慮 用 變分法，  大家 可以 自己 試試，  這里 先不討論 。  我們 看看 用 離散 線性 樣本 的 方法 。

 

可以 大概 給 A1  划一個 范圍，  把 這個 范圍 切割 成 9 等分，  這樣 可以 有 10 個 值，   把 這 10 個 值 代入    定積分   ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]   ，    看 哪個值 得到 的 定積分 最小，    就 取 這個 值 作為 A1，    切割 的 等分 越多，   則  結果 越 精確  。

 

[t1, t2]   在 這里 是 一個周期  。

 

當然，   對於 橫坐標 t，  在  [ t1, t2 ]  區間 里 也要  切割一些 等分 來 近似計算積分   。     假設   [ t1, t2 ]    切割了 100 個 等分，   乘上 A1 的 10 個 值，  計算 的 時間復雜度 就是   10 * 1000 = 1 萬   。

 

這個方法 對於 一般 的 源信號，  也許 有 不錯 的 近似 效果 。  但是 對於 一些 源信號，  比如 突變性 的，    就 不適用 了  。

 

 

 

 

比如，  上圖 藍色 的 源信號，   突變 很明顯 ，       合成 它 的 基波 和 諧波，  大概 要 像 圖上 這樣 比較合適  。

紅色 是 基波，  也就是 傅里葉級數 第一項，   橙色 是 一個 諧波，  它的 頻率 是 基波 的 3 倍，   可以 認為 是 傅里葉級數 的 第三項  。

 

顯然，    基波 和 源信號 的 波形 差異 並不是 最小， 甚至 還 有點 大  。  從這里看出，   構造 傅里葉級數  需要一些  “總攬全局” 的 規划 。

又或者說，  上面 一開始 提出 的 一項 一項 求 的 方法，  割裂了 傅里葉級數 的 “整體性”   。

 

如果 把 傅里葉級數 的 所有項 放到一起來 考慮，   可以 簡化一點， 讓 n 等於一個 有限的 不太大的 自然數，  比如 n = 5，  這樣就是 由 5 個 正弦信號 來 組成 源信號  。

 

5 個 正弦信號 寫成 矩陣 ：

 

A1 , ω1 , ψ1 , b1

A2 , ω2 , ψ2 , b2

A3 , ω3 , ψ3 , b3

A4 , ω4 , ψ4 , b4

A5 , ω5 , ψ5 , b5

 

每個 正弦信號 的  A , ω , ψ , b   均 取 10 個值，  這樣來匹配，  則 每個 正弦信號 會 產生出 10^4 = 1 萬 個 樣本，

有 5 個 正弦信號，   5 個 正弦信號 的 樣本 在一起 匹配，   會 產生出   ( 1 萬 ) ^ 5 = 10^20 個 樣本，

10^20 個 樣本 中 波形 和 源信號 差異 最小 的 那個 樣本 就是 最優解  。

 

10 ^ 20 ，  這個 計算量 太大 了 ，      可以簡化一點，    讓 ω 固定，  5 個 正弦信號 的 ω 依次為  ω ,  ω * 2  , ω * 3 ,  ω * 4 ,  ω * 5  ，   忽略 b  。

這樣 寫成 矩陣 ：

 

A1 , ω , ψ1 

A2 , 2 * ω , ψ2 

A3 , 3 * ω , ψ3 

A4 , 4 * ω , ψ4 

A5 , 5  * ω , ψ5 

 

因為 ω 是 固定 的，   每個 正弦信號 參與 取值 匹配 的 只有 A 、ψ，   所以，  每個 正弦信號 的 樣本 是 10^2 = 100 個 ，

5 個 正弦信號 組合匹配 產生 的 樣本 是  100 ^ 5  = 10^10 = 100 億  個  。

 

這個 計算量 還是 太大， 呵呵 。  所以 這個 算法 似乎 有點 不科學，  也有點 白痴，   哈哈 。

 

到目前為止，  這個 算法 處理的，   是 簡單信號 （Simple and Pure） ，    簡單信號 是指 波形 單一 、特點明顯  的 周期信號，   常見 的 人造信號 很多是 簡單信號，   比如 方波 、三角波 、梯形波 ，  等等  。

 

簡單信號 比較 容易 進行 傅里葉級數 分解 。

 

自然界 中 的 信號 大多 是 復雜的，  具有 復雜 和 多樣 的 波形，  即使 有 周期性，  但 也不是 一成不變 的 。

 

自然界 中 的 信號 比如 自然界 中 的 聲音，   人聲 、動物的聲音 、樂器的聲音，  以及 自然界 中 的 各種聲音 。

 

以 聲音信號 為例，    波形 表示 音色 和 音質 ，   還傳達着信息，  人類語言 、動植物的聲音 、大自然的聲音 都 傳達 着 各種各樣 的 信息 。

 

我們來看一個 聲音信號，  這個 聲音信號 是 我 假想 的  。

 

 

 

 

可以 把 這個 信號 分為 3 個 信號，  也是 3 個 分量 ：

 

分量 1 ：

 

 

分量 2 ：

 

 

分量 3 ：

 

 

 

 

分量 1 的 頻率 和 源信號 一樣，   音調（音高） 聽起來 大概 和 源信號 一樣，   但 脈沖寬度窄，  這表示 脈沖本身的 頻率高， 所以， 音色 中 帶有 尖銳 的 特質 。  另外，   脈沖寬度窄 也 意味着 振動 能量 小，   所以， 聽起來 會 比較 弱小 、細小，  總的來說， 聽起來 是一個 尖細 的 聲音 。

分量 1 合成到 源信號 中，  會 讓 源信號 的 音色 聽起來 更豐富 。

 

我感覺，   分量 1 聽起來 是 “嘀 -” ，   分量 2  聽起來 是 “嘟 -” ，  分量 3 聽起來 是 “咚 -”  。   哎 ？   怎么 都是 聲母 D 開頭 的 ？

 

上面 3 個 分量 都是 簡單信號，   這樣 的 分量 稱為  頻域 的 自然分量，   簡稱 自然分量，   又名 特征分量 。    將 信號 分解 為 自然分量 的 方法 稱為 自然分解法， 又名 特征分解法  。

 

自然分量 和 傅里葉級數 不一樣，   傅里葉級數 是  一組 正弦函數，   且 每一個 正弦函數 的 頻率 是 指定 的 。

 

自然分量 不是 傅里葉級數  。

 

要把 自然界 的 信號 分解 為 傅里葉級數 並不容易，   首先一個 問題 就是 基波 的 頻率 是多少？  怎么確定 ？

 

自然界 的 信號 通常 是 分解為 自然分量 來 進行 分析，  以 聲音信號 為例，    比如 測量 音調（音高），  分離出 基因 泛音，   聲紋識別 、語音識別 、各種廣義的聲音識別 和 聲音特征分析  。

 

自然界 的 信號 分解 為 傅里葉級數 反而 會 丟失 原始 的 特征信息 。

 

也許， 通常，  傅里葉級數 只適合於 分解 簡單信號  。

 

將 自然界 的 信號 分解為 自然分量，   自然分量 是 簡單信號，  可以 進一步 分解為 傅里葉級數 。

 

當然，  自然界 的 信號 不是 絕對規則的， 分解 得到 的 自然分量 的 每個周期 的 波形 和 周期 也不一定 完全一樣，   可以 近似等價 為  每個周期 都一樣 的 規則的 、理想的 簡單信號，  再 分解 為 傅里葉級數 。

也可以 單獨 取 一個 周期 的 波形 來 分解 為 傅里葉級數，  當然 也可以取 任意 一段 波形 來 分解 為 傅里葉級數  。

也可以 將 任意 一段波形 當作 一個 周期 來 分解 為 傅里葉級數，     就像 對於 非周期信號，  將 整個信號 的 定義域 作為 一個 周期  。

 

自然界 的 聲音信號 ，  可以 通過 特征分解法 分離 出 一組 自然分量，  這組  分量 中，   振幅 明顯 大於 其它 分量 的 那個 分量 稱為 基音，  其它 的 分量 稱為 泛音 。

一個 聲音 的 音調 由 基音 決定，   基音 的 音調 代表 聲音 的 音調   。    泛音 的 音調  讓 聲音 聽起來 層次豐富  。

 

如果 一個 聲音信號 的 分量 中，  有 2 個 分量 的 振幅 不相上下，   彼此 沒有 明顯優勢，  那么，  這可能是 2 個 聲源 的 聲音，  也有可能是 一個 聲源 發出了 頻率 不同 的 2 個 聲音 混在一起 ，   這 2 個 分量 可以認為 是  2 個 聲音 的 基音  。

 

但 事情 比這 復雜，    那 2 個 聲音 各自 的 泛音 要 怎么 區分， 怎么 找出來 呢  ？

 

這就 涉及 到 聲音識別 的 問題 了，   這 涉及 到 機器識別 ， 或者說 人工智能  。   比如 人類 ， 或者 動物 可以 在 一堆 聲音 里 識別 出 不同 聲源 發出 的 聲音，  可以 同時 區分 出 不同的 人 說話，  樂器，  以及 各種聲音  。

 

這涉及到 特征識別 、特征提取，     這涉及到 人工智能 和 仿生學  。

 

為什么說 仿生學 呢 ？  因為 生物 有一套 “程序” 來 區分 和 提取 出 聲音信號 中 的 各種聲音  。

 

又比如，   一群 蝙蝠 在一起，   並不會 把  其它 蝙蝠 的 超聲波 和 自己 發出 的 超聲波 混淆起來  。

 

要 怎樣 用 特征分解法 來 將 信號 分解為 自然分量 ？   可以看看  《卷積 毫無意義》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12839957.html   。

 

第一次 掃描 分離出 的，   是 頻率 最高 的 分量，   甚至是一些 噪點，

第二次 掃描 分離出 的，   是 頻率 第二高 的 分量，

第三次 掃描 分離出 的，   是 頻率 第三高 的 分量，

……

最后一次 掃描 分離出 的，    是 頻率 最低 的 分量  。

 

說到這里，  會想到，  有時候，    特征點 和 噪點 僅 一紙之隔  。

 

我寫了一個 演示程序，  可以把 幾個 正弦信號 合成為一個 合成信號  。   可以作為 學習測試 工具 。

程序 是 用 Html 5 + javascript 寫的，     項目地址 ：       https://github.com/kelin-xycs/FourierStudy   。

進入 項目頁面 后， 點擊 右邊 的 “Clone or download” 綠色按鈕，  就可以 下載 項目 了 。

項目 里 的 程序文件 是 一個 Html 文件  SinesCompose.html ，    用 瀏覽器 打開 就可以運行   。

 

 

2020-05-29      補充 ：

上文 有 這樣一段話 ：

“

ω 已知，  就是 源信號 的 ω ，       所以，   (8) 式 中 只有一個 待定系數  A1  ，    只要 求出 A1 就可以，   這樣的話，   可以試試 變分法，  看用 歐拉方程 能不能 解出來  。

 

但  歐拉方程 的 解 是 一個 函數，   這里 的 A1 是 一個 系數，  是 常量，  這就 尷尬 了，  呵呵呵呵 。  這兩者（函數 和 常量） 的 矛盾 能不能 調和 ？  期待 數學天才們 的 表演，  拭目以待 。

”

 

其實不是這么回事 。         求 A1  是 一個 函數極值問題，  不需要用到 歐拉-拉格朗日 方程 。

可以 先 把  (8) 式  里 的 定積分，  也就是  ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]    這個 定積分 的 表達式 求出來（如果能求出來的話），  怎么求呢 ？  先求  ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt   這個 不定積分 的 表達式（如果能求出來的話），   代入 t1, t2 求 不定積分 的 差 就是 定積分，  把 定積分 記為  y = D ( A1 ) ，  即 把 定積分 看作 A1 的 函數，   求   y = D ( A1 ) 的 極值，  或者說 求  y = D ( A1 ) 的 極值條件，   即 A1 = ？  時，  D ( A1 )  取 極值 。 

D ( A1 )  取 最小值 時 的 A1 ，  就是 要求 的 A1  。

 

極值 怎么求 ？        函數極值 出現在 極值點 和 折點 。 

 

極值點 是 導數 為 0 的 點， 且 點 的 兩邊 的 導數 異號 。

折點 是 導數 為 無窮， 但 函數值 不是 無窮，  且 點 的 兩邊 的 導數 異號 的 點 。  折點 也可以 稱為 不光滑極值點 。

還有一種情況 是 單邊折點，            單邊折點 是 導數 為 無窮，  函數值 不是 無窮， 且 只在 點 的一邊 有 函數，  另一邊 沒有 函數 的 點 。

比如，   y = 根號 ( x )  ，    當 x = 0 時，  y = 0 ，   y ′ =  無窮 ，   當 x >= 0 時，   y 存在，  當 x < 0 時，  y 不存在 。

所以，   x = 0  是  y = 根號 ( x )   的   單邊折點  。