機器人學——1.4-三角度表示法

歐拉旋轉定理要求繞3個軸依次旋轉，但不能繞同一軸線連續旋轉兩次。旋轉順序分為兩種：歐拉式和卡爾丹式，分別以歐拉和卡爾丹（Cardano）的名字命名。

歐拉式是繞一個特定的軸重復旋轉，但不是連續的： $XYX$、 $XZX$、 $YXY$、 $YZY$、 $ZXZ$ 或 $ZYZ$。卡爾丹式的特點是繞 $3$ 個不同軸旋轉： $XYZ$、 $XZY$、 $YZX$、 $YXZ$、 $ZXY$ 或 $ZYX$。一般來說，所有這些序列均被統稱為歐拉角，共有 $12$ 種形式可供選擇。

現在通常是將所有三角度表示法都稱作歐拉角，但這種稱呼不夠確切，因為一共有 $12$ 種不同形式的歐拉角可供選擇。在某一特定技術領域中，歐拉角往往指一種特定的旋轉角順序。

$ZYZ$ 序列的歐拉角表示為
$R=R_z(\phi)R_y(\theta)R_z(\psi)$
它常用在航空和機械動力學中，並在機器人工具箱中使用。歐拉角是一個三維向量 $\Gamma=(\phi,\theta,\psi)$。
例如，要計算 $\Gamma=(0.1, 0.2, 0.3)$的等價旋轉矩陣，我們可以這樣寫（注意是弧度制）：

>> R = rotz(0.1) * roty(0.2) * rotz(0.3)
R =
    0.9021   -0.3836    0.1977
    0.3875    0.9216    0.0198
   -0.1898    0.0587    0.9801

或采用更簡便的方式：

>> R = eul2r(0.1, 0.2, 0.3)
R =
    0.9021   -0.3836    0.1977
    0.3875    0.9216    0.0198
   -0.1898    0.0587    0.9801

上述問題的逆命題是要找到給定旋轉矩陣的歐拉角，可采用以下函數：

>> tr2eul(R)
ans =
    0.1000    0.2000    0.3000

但是，如果 $\theta$ 為負時，如

>> R = eul2r(0.1, -0.2, 0.3)
R =
    0.9021   -0.3836   -0.1977
    0.3875    0.9216   -0.0198
    0.1898   -0.0587    0.9801

其反函數結果為

>> tr2eul(R)
ans =
   -3.0416    0.2000   -2.8416

它返回了一個正的 $\theta$ 值和兩個不同的 $\phi$、 $\psi$值。但這組歐拉角對應的旋轉矩陣仍與前一組是相同的：

>> R = eul2r(ans)
R =
    0.9021   -0.3836   -0.1977
    0.3875    0.9216   -0.0198
    0.1898   -0.0587    0.9801

兩組不同的歐拉角對應同一個旋轉矩陣，說明從旋轉矩陣到歐拉角的映射是不唯一的，而機器人工具箱函數返回的角度 $\theta$ 始終為正。
對於 $\theta=0$ 的情況：

>> R = eul2r(0.1, 0, 0.3)
R =
    0.9211   -0.3894         0
    0.3894    0.9211         0
         0         0    1.0000

反函數返回的角度值為

>> tr2eul(R)
ans =
         0         0    0.4000

它與原值完全不同。其實在這種情況下，旋轉矩陣是
$R=R_z(\phi)R_y(\theta)R_z(\psi)=R_z(\phi)R_z(\psi)=R_z(\phi+\psi)$
由於 $R_y=I$，所以可化簡為只是 $\phi+\psi$ 的一個函數。對於逆運算而言，只能確定這個和的值。要想得到其中每個值，只能按慣例取 $\phi=0$。 $\theta=0$ 的情況實際上是一個奇異點，我們之后還會詳細討論。

另一種廣泛使用的旋轉角順序是橫滾（Roll）——俯仰（pitch）——偏航角（yaw），即
$R=R_z(\theta_r)R_y(\theta_p)R_z(\theta_y)$

機器人工具箱函數tripleangle可以直觀的展示三角度表示。
它用於描述船舶、飛機和車輛的姿態時非常直觀。橫滾、俯仰和偏航（也稱為側傾、姿態和航向）是指分別繞 $x$、 $y$、 $z$ 軸的旋轉。這個 $xyz$ 角序列，即專業上的卡爾丹角，也被稱為泰特-布萊恩角（Tait-Bryan）或導航角。對於航空及地面車輛而言，通常定義 $x$ 軸為前進的方向、 $z$ 軸垂直向下、 $y$ 軸指向右手方向

注意，也有一些機器人學教科書[Paul1981；Sicilianoet al.2008；Spong et al.2006]都交換了其中的 $x$ 軸和 $z$ 軸，把向前的方向定義為 $z$ 軸方向而不是 $x$ 軸方向，也就是說是繞 $z$ 軸而不是 $x$ 軸橫滾。新版的機器人工具箱中默認的是 $xyz$ 順序，不過也可以用'zyx'選項來指定 $zyx$ 的順序。

>> R = rpy2r(0.1, 0.2, 0.3)
R =
    0.9363   -0.2896    0.1987
    0.3130    0.9447   -0.0978
   -0.1593    0.1538    0.9752

其逆運算為

>> tr2rpy(R)
ans =
    0.1000    0.2000    0.3000

橫滾——俯仰——偏航序列允許每個角度值有任意正負號，不會產生多解的情況。但它也有一個奇異點，即當 $\theta_p=\pm \pi/2$時，不過這個點剛好在大多數車輛可能的姿態范圍以外。