机器人学——1.4-三角度表示法

欧拉旋转定理要求绕3个轴依次旋转，但不能绕同一轴线连续旋转两次。旋转顺序分为两种：欧拉式和卡尔丹式，分别以欧拉和卡尔丹（Cardano）的名字命名。

欧拉式是绕一个特定的轴重复旋转，但不是连续的： $XYX$、 $XZX$、 $YXY$、 $YZY$、 $ZXZ$ 或 $ZYZ$。卡尔丹式的特点是绕 $3$ 个不同轴旋转： $XYZ$、 $XZY$、 $YZX$、 $YXZ$、 $ZXY$ 或 $ZYX$。一般来说，所有这些序列均被统称为欧拉角，共有 $12$ 种形式可供选择。

现在通常是将所有三角度表示法都称作欧拉角，但这种称呼不够确切，因为一共有 $12$ 种不同形式的欧拉角可供选择。在某一特定技术领域中，欧拉角往往指一种特定的旋转角顺序。

$ZYZ$ 序列的欧拉角表示为
$R=R_z(\phi)R_y(\theta)R_z(\psi)$
它常用在航空和机械动力学中，并在机器人工具箱中使用。欧拉角是一个三维向量 $\Gamma=(\phi,\theta,\psi)$。
例如，要计算 $\Gamma=(0.1, 0.2, 0.3)$的等价旋转矩阵，我们可以这样写（注意是弧度制）：

>> R = rotz(0.1) * roty(0.2) * rotz(0.3)
R =
    0.9021   -0.3836    0.1977
    0.3875    0.9216    0.0198
   -0.1898    0.0587    0.9801

或采用更简便的方式：

>> R = eul2r(0.1, 0.2, 0.3)
R =
    0.9021   -0.3836    0.1977
    0.3875    0.9216    0.0198
   -0.1898    0.0587    0.9801

上述问题的逆命题是要找到给定旋转矩阵的欧拉角，可采用以下函数：

>> tr2eul(R)
ans =
    0.1000    0.2000    0.3000

但是，如果 $\theta$ 为负时，如

>> R = eul2r(0.1, -0.2, 0.3)
R =
    0.9021   -0.3836   -0.1977
    0.3875    0.9216   -0.0198
    0.1898   -0.0587    0.9801

其反函数结果为

>> tr2eul(R)
ans =
   -3.0416    0.2000   -2.8416

它返回了一个正的 $\theta$ 值和两个不同的 $\phi$、 $\psi$值。但这组欧拉角对应的旋转矩阵仍与前一组是相同的：

>> R = eul2r(ans)
R =
    0.9021   -0.3836   -0.1977
    0.3875    0.9216   -0.0198
    0.1898   -0.0587    0.9801

两组不同的欧拉角对应同一个旋转矩阵，说明从旋转矩阵到欧拉角的映射是不唯一的，而机器人工具箱函数返回的角度 $\theta$ 始终为正。
对于 $\theta=0$ 的情况：

>> R = eul2r(0.1, 0, 0.3)
R =
    0.9211   -0.3894         0
    0.3894    0.9211         0
         0         0    1.0000

反函数返回的角度值为

>> tr2eul(R)
ans =
         0         0    0.4000

它与原值完全不同。其实在这种情况下，旋转矩阵是
$R=R_z(\phi)R_y(\theta)R_z(\psi)=R_z(\phi)R_z(\psi)=R_z(\phi+\psi)$
由于 $R_y=I$，所以可化简为只是 $\phi+\psi$ 的一个函数。对于逆运算而言，只能确定这个和的值。要想得到其中每个值，只能按惯例取 $\phi=0$。 $\theta=0$ 的情况实际上是一个奇异点，我们之后还会详细讨论。

另一种广泛使用的旋转角顺序是横滚（Roll）——俯仰（pitch）——偏航角（yaw），即
$R=R_z(\theta_r)R_y(\theta_p)R_z(\theta_y)$

机器人工具箱函数tripleangle可以直观的展示三角度表示。
它用于描述船舶、飞机和车辆的姿态时非常直观。横滚、俯仰和偏航（也称为侧倾、姿态和航向）是指分别绕 $x$、 $y$、 $z$ 轴的旋转。这个 $xyz$ 角序列，即专业上的卡尔丹角，也被称为泰特-布莱恩角（Tait-Bryan）或导航角。对于航空及地面车辆而言，通常定义 $x$ 轴为前进的方向、 $z$ 轴垂直向下、 $y$ 轴指向右手方向

注意，也有一些机器人学教科书[Paul1981；Sicilianoet al.2008；Spong et al.2006]都交换了其中的 $x$ 轴和 $z$ 轴，把向前的方向定义为 $z$ 轴方向而不是 $x$ 轴方向，也就是说是绕 $z$ 轴而不是 $x$ 轴横滚。新版的机器人工具箱中默认的是 $xyz$ 顺序，不过也可以用'zyx'选项来指定 $zyx$ 的顺序。

>> R = rpy2r(0.1, 0.2, 0.3)
R =
    0.9363   -0.2896    0.1987
    0.3130    0.9447   -0.0978
   -0.1593    0.1538    0.9752

其逆运算为

>> tr2rpy(R)
ans =
    0.1000    0.2000    0.3000

横滚——俯仰——偏航序列允许每个角度值有任意正负号，不会产生多解的情况。但它也有一个奇异点，即当 $\theta_p=\pm \pi/2$时，不过这个点刚好在大多数车辆可能的姿态范围以外。